136 SULLA GEOMETRIA DELLA RETTA ECC. 



come inviluppo; e per questa retta oltre al piano considerato passa un altro piano 

 doppio ed inoltre un punto doppio notevole in quanto che il fascio (doppio) di rette 

 del complesso passanti per esso sta nel piano che vedemmo far parte della superficie 

 singolare. Correlativamente il complesso quadratico [6] può avere la superficie singo- 

 lare scissa in un punto, inviluppo di piani, ed una superficie di 4° ordine e 3" classe. 

 Queste cose si vedono considerando la quartica degenerata J?, /", e ricordando che dalle 

 generatrici di B, tangenti ad essa noi ottenevamo nel n° precedente i punti e piani 

 doppi di r. — Le proprietà cosi trovate del complesso quadratico [6] sono pure quelle 

 date dal Weiler al n° 48 del suo lavoro. 



163. Ma a rendere più completa la distinzione tra le varie specie di rette doppie 

 (distinzione che non abbiamo ancora visto, p. e. tra i casi 2 e 3) gioverà che mo- 

 striamo come le superficie singolari corrispondenti non sono altro che superficie del 

 complesso (Complexflàche) di Plucker, cioè superficie focali delle congruenze quadra- 

 tiche composte dalle rette di un complesso quadratico, le quali tagliano una retta 

 fissa. Ciò si potrebbe dedurre immediatamente come corollario del teorema generale 

 che abbiamo esposto al n° 160, ma si può pure ottenere direttamente come segue. 

 Eicordiamo che la superficie singolare del complesso quadratico che consideriamo è 

 superficie focale di una congruenza quadratica, che si ottiene come intersezione di H 

 col S'-^ polare rispetto ad lì della quadrica f, che supponiamo semplicemente specia- 

 lizzata coir elemento doppio r. Come n è 1';^'^ polare di r rispetto ad iJ, cosi quel 

 S''^ starà su n e, nel caso del gruppo caratteristico 2 non presenterà altro di note- 

 vole. Ma pel caratteristico 3 diventa f tangente lungo un S\ a tt, e quindi il suo 

 (S'*3 polare viene a passare per r, avendovi per tangente un S\ che è polare di quel 

 S\ . Pel caratteristico 4 quel S\ viene a stare su. B e quindi quel S'^ tangente 

 in r al «S'^3 toccherà B lungo quel S\ . E cosi continuando e ricordando le cose 

 dette, e notando che Ì'S\ considerato è intersezione di n eoa infinite quadriche S'',, 

 avremo : 



Il gruppo caratteristico composto di un indice isolato e ^ 2 rappresenta una 

 retta doppia tale che la superficie singolare che si considera è la superficie, re- 

 lativa a quella retta, di un conveniente complesso quadratico, il quale non passa 

 per la retta stessa se e=2 , passa per la retta se e=:8 , ha la retta per retta sin- 

 golare quando e — i, Vha per retta singolare di 2° ordine per e = 5 , e per retta 

 singolare di 8° ordine per e^6. 



Ricordando il significato che noi diamo alle espressioni di « rette singolari di 

 2° e di 3° ordine » (V. n° 137) è facile convincersi come questi risultati vadano 

 d'accordo con quelli dianzi avuti. Essi sono assai importanti, poiché riducono lo studio 

 delle superficie singolari corrispondenti a quei vari casi allo studio di superficie del 

 complesso (*). 



(*) 11 Weiler nel suo lavoro (11° 7, Iti, 30) stabilisce ohe i casi [2IIII] , [3111], e [4IIJ danna 

 per superfìcie singolari le superficie del complesso relative risp. ad una retta qualunque, ad una retta 

 del complesso e ad una retta singolare, cercando le equazioni in coordinate di punti di quelle super- 

 ficie e studiando mollante esse la forma di queste. B chiaro che tal metodo non è molto soddistacente. 



