PER CORRADO SEG^E 137 



" 164. Premesse queste cose e ricordando quelle viste in generale nei §§ 4, 5 

 e 6 sui complessi lineari fondamentali di un complesso quadratico, i quali quando di- 

 ventano speciali danno coi loro assi delle rette doppie ; sulla generazione proiettiva dei 

 complessi quadratici, sulle rette singolari e la superficie singolai-e, sulla serie omofocale 

 di complessi quadratici e il numero dei complessi di una tal serie, che passano per 

 una retta arbitraria dello spazio, noi siamo condotti naturalmente ad una divisione dei 

 complessi quadratici in classi, e poi di queste in sottoclassi, le quali ci danno tutte 

 le specie possibili, cioè la classificazione completa dei complessi quadi'atici. 



Classe A. 



Tutti i complessi nella cui caratteristica non vi sono gruppi contenenti più 

 di un indice caratteristico. 



Questa classe di complessi quadratici è caratterizzata geometricamente dalle se- 

 guenti proprietà. Il numero dei complessi lineari fondamentali è finito. Ogni tal com- 

 plesso quadratico non contiene alcuna congruenza lineare, ma soltanto delle rigate qua- 

 driche e quindi è generabile come tutti i complessi quadratici mediante stelle reciproche 

 di complessi lineari, ma non (come tutti i rimanenti complessi quadratici) mediante 

 fasci proiettivi. La serie omofocale di ogni complesso quadratico di questa classe (e 

 solo di questa) è del grado 4, vale a dire per ogni retta dello spazio passano 4 (va- 

 riabili) dei suoi complessi. 



Possiamo suddividere questa classe in 4 sottoclassi, secondo che il numero degli 

 indici caratteristici diversi dall'unità e quindi delle rette doppie è 0, 1, 2, 3, cioè: 



I. [111111] . Nessuna retta doppia. 



II. [21111] , [3111] , [411] , [51] , [6] . Una retta doppia. 



III. [2211] , [321] , [33] , [42] . Bue rette doppie. 

 rV. [222] . Tre rette doppie. 



La caratteristica [llllllj corrisponde al complesso più generale ed a quei suoi 

 casi particolari in cui il complesso non cessa di avere 6 complessi fondamentali isolati: 

 (non speciali, per conseguenza) e quindi non ha rette doppie. Le principali proprietà 

 di .questi complessi furono scoperte specialmente da Plììcker e Klein. 



Gli altri complessi quadratici di questa classe hanno, come vedemmo, delle rette 

 doppie, e per superficie singolari delle superficie di complesso relative a quelle rette 

 e vedemmo anche (n° 163) in quale relazione queste rette debbono stare rispetto ai 

 complessi generali di cui quelle sono superficie. Pei casi di una sola retta doppia (sot- 

 toclasse II) si avranno dunque, per quanto dicemmo, le seguenti superficie singolari 

 (dove quelle superficie di complesso devono essere le più generali delle specie che in- 

 dichiamo) : 



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