138 SULLA GEOMETEIA DELLA RETTA ECC. 



[21111] . Superficie di complesso relativa ad una retta qualunque dello spazio 



r3111] . » relativa ad una retta del complesso 



("411] . » relativa ad una retta singolare (di 1° ordine) del 



complesso 



[51] . » relativa ad una retta singolare di 2° ordine del 



complesso 



[6] . » relativa ad una retta singolare di 3° ordine del 



complesso. 



Ora le superficie del complesso relative alle varie posizioni possibili di una retta hanno 

 forme il cui studio si presenta assai semplice, e particolarmente si riconoscono assai 

 facilmente le specialità relative alla retta doppia ed alla distribuzione dei punti doppi 

 della superficie, sicché a noi basta aver ricondotto lo studio di questa classe di superficie 

 singolari allo studio di superficie del complesso. Del resto le superficie del complesso 

 relative ad una retta qualunque dello spazio e ad una retta appartenente al com- 

 plesso fiurono studiate abbastanza diffusamente dal PlIìcker (*), il quale notò ad esempio 

 come nel secondo caso la retta doppia diventi cuspidale per la superficie. Non è 

 difficile proseguire questo studio ; noi abbiamo anzi già trovato quali particolarità 

 distingua quella retta doppia cuspidale nei casi [3111] , [411] , [51] , [6] , 

 (V. n" 162) e per questo ultimo caso [6] abbiamo già visto come la superficie sin- 

 golare si scinda pel separarsi, come parte di essa, di un punto o di im piano di rette 

 contenute nel complesso quadratico, avendo la parte rimanente (superficie di 4° ordine 

 e 3' classe, ovvero di 3° ordine e 4^ classe) le proprietà viste. Quindi questi casi 

 sono già sufficientemente distinti tra loro, ed è anche dato il modo di approfondirli. 



Venendo alle due sottoclassi, che ci rimangono a considerare, le superficie sin- 

 golari corrispondenti si potrebbero considerare come superficie di complessi relative a 

 ciascuna delle 2 o 3 rette doppie, che esse hanno. Ma possiamo anche servirci delle 

 distinzioni già trovate tra le rette doppie corrispondenti a indici caratteristici diversi. 



Ogni complesso della sottoclasse TU ha due rette doppie che si tagliano deter- 

 minando un fascio di rette del complesso (V. alla fine del n° 123). 11 caso [2211] 

 è quello più generale: la superficie singolare ha quelle due rette per rette doppie. 

 Nel caso [321] una delle due rette doppie (quella corrispondente all'indice caratte- 

 ristico 3) diventa cuspidale per la superficie singolare. E nel caso [33] entrambe le 

 rette doppie sono cuspidali per questa superficie. Ma nel caso [42] ricordando le pro- 

 prietà viste (n° 162) della l'etta doppia corrispondente all'indice caratteristico 4, e 

 la relazione in cui questa deve stare colla retta doppia, che corrisponde al 2, noi ve- 

 diamo che il piano, od il punto in cui stanno le due rette doppie, che si hanno in 

 questo caso, si compongono di rette del complesso quadratico, sicché la superficie sin- 



(*) Vedi PlOgker, Neue Geometrie des Raumes, pag. 205-"26. Nella 2' parte di quest'opera a 

 pag. 337-344 sono enumerate [dal Klein , a quanto è detto nella prefazione) alcune altre specie di 

 superficie di complesso, come quelle che sono superficie singolari di serie omofocali di complessi qua- 

 dratici [•2211], [222J, [(11)211]. 



