140 SULLA GEOMETKJA DELLA KETTA ECC. 



Classe JB.. 



165. Tutti i complessi, nella cui caratteristica, vi è (oltre ad indici carat- 

 teristici isolati) un gruppo composto di due indiai. 



Questi sono tutti i complessi quadratici aventi, oltre a complessi fondamentali 

 isolati, un fascio di complessi fondamentali. Gli assi dei complessi speciali di questo 

 fascio sono rette doppie. Ogni complesso di questa classe contiene infinite congruenze 

 lineari (formanti due sistemi) passanti per quelle rette doppie, ed è generabile in in- 

 finiti modi (oltre che col metodo generale delle stelle reciproche di complessi lineari) 

 con due fasci proiettivi di complessi lineari passanti per queste. La superficie singo- 

 lare vedemmo essere in questo caso una rigata biquadratica appai-tenente alla congruenza 

 lineare di quel fascio di complessi fondamentali, rigata che è una focale per tutta la 

 serie omofocale di complessi quadratici. Sappiamo poi che se il gruppo caratteristico 

 di cui si tratta è (11), allora i complessi fondamentali speciali del fascio sono 2 soli 

 e distinti, i cui assi costituiscono 2 rette doppie sghembe distinte del complesso e 

 quindi di quella superficie singolare ; mentre se in quel gruppo caratteristico il 1° in- 

 dice è > 1, allora la congruenza fondamentale diventa speciale in quanto che le 2 

 direttrici, che sono appunto quelle due rette doppie, vengono ad essere infinitamente 

 vicine: la rigata biquadratica è di quelle che appartengono ad una congruenza lineare 

 speciale. Finalmente se in quel gruppo caratteristico entrambi gli indici sono > 1 

 abbiamo pure visto che tutto il fascio di complessi fondamentali si compone di com- 

 plessi speciali, cioè che la congruenza fondamentale si scinde in un piano ed un punto 

 di rette. La rigata biquadratica dovendo esservi contenuta si scinderà in una conica 

 (come inviluppo di 2^ classe) di quel piano ed un cono di quel punto. In questo 

 caso quei complessi lineari fondamentali essendo tutti speciali, i loro assi formano un 

 fascio di rette doppie del complesso quadratico : il piano di questo fascio come luogo 

 di punti, ed il centro del fascio stesso come inviluppo di piani apparterranno dunque 

 doppiamente alla superficie singolare, la quale quindi si comporrà ancora di un cono 

 avente il vertice in quel punto, come luogo di punti singolari, e di una conica gia- 

 cente in quel piano come inviluppo di piani singolari; potendo poi questo cono e 

 questa conica degenerare ancora. 



Distinguendo dunque 3 sottoclassi abbiamo le seguenti specie: 



I. Superficie singolare una rigata biquadratica a direttrici sghembe distinte 

 [(ll)llllj, [(11)211), [(11)31], [(11)22], [(11)4]. Serie omofocale digrado^". 



II. Rigata biquadratica a direttrici coincidenti. 



[(21)111], [(21)21], [(21)3], [(31)11], [(31)2], [(41)1], [(51)]. Serie omofocale 

 di grado 3". 



III. Piano e punto contati doppiamente; cono e conica. 

 [(22)11], [(22)2], [(32)1], [(42)]. Serie omofocale di grado 2°. 

 [(33)] . Serie omofocale di grado 1". 



