148 SULLA GEOMETKIA DELLA EETTA ECC. 



Dunque il complesso [(1 1) (11 ) (11)] gode della proprietà che le sue i-ette tagliano 

 secondo un rapporto anarmonico fisso le 4 faccie del suo tetraedro singolare (o cor- 

 relativamente), e questa è appunto la definizione più usata del complesso tetraedrale , 

 alla quale volevamo giungere {'). 



Di questo complesso sono casi particolari i complessi quadratici aventi per ca- 

 ratteristiche [(22) (11)] e [(33)], da noi già incontrati nelle classi precedenti. 



Classe E. 



168. Complessi quadratici, le cui caratteristicJie contengono Inoltre ad indici 

 caratteristici isolati) un gruppo caratteristico di 3 indici. 



Essi hanno (oltre a complessi fondamentali isolati) una serie lineare doppiamente 

 infinita di complessi lineari fondamentali, cioè tutti i complessi lineari contenenti una 

 determinata rigata quadrica: la rigata quadrica coniugata conterrà gli assi di quelli 

 speciali tra quei complessi fondamentali , cioè sarà tutta composta di rette doppie , 

 donde segue che per tutti i complessi quadratici di questa classe la superficie sin- 

 golare si riduce come luogo e come inviluppo (nel senso ordinario della parola) ad 

 una superficie quadrica contata due volte ; quella superficie cioè che contiene quelle 

 due rigate coniugate. Se i tre indici del gruppo caratteristico sono uguali tutti ad 1, 

 allora vedemmo che la quadrica è generale. Se il primo indice è > 1 la quadrica 

 è semplicemente specializzata, cioè è scissa come luogo e come inviluppo in una coppia 

 di piani ed una coppia di punti, sicché le rette doppie del complesso formano due 

 fasci, ed i complessi fondamentali costituiscono la serie dei complessi lineari che con- 

 tengono la coppia di fasci di rette coniugata a quella. Se entramhi i due primi indici 

 sono > 1, allora vedemmo pure che la quadrica è doppiamente specializzata, cioè i 

 2 punti ed i 2 piani in cui si scindeva nel caso precedente vengono a coincidere , 

 di modo che la superficie singolare si comporrà di un piano con un suo punto contati 

 4 volte. Finalmente, la serie lineare doppiamente infinita di complessi fondamentali è 

 tutta composta di complessi speciali, quando tutti e tre quegl 'indici sono > 1, vale 

 a dire nel solo caso [(2 2 2)] ; in questo caso i loro assi sono le rette o di un piano 

 o di un punto e sono ancora rette doppie del complesso ; considereremo di nuovo 

 questo caso studiando l'ultima classe. Intanto notiamo ancora come conseguenza di cose 

 esposte che tutti i complessi quadratici che qui consideriamo si possono in infiniti 



(") Il teorema citato del n° 143 l'.uò anche servire a dimostrare, altre proposizioni notevoli. Così 

 4 complessi lineari fondamentali isolati di un complesso quadratico hanno comuni due rette, per cia- 

 scuna delle quali passeranno quei quattro complessi lineari, che appartengono, contati doppiamente, 

 alla serie omofocale : dunque esse determinano lo stesso rapporto anarmonico sulla superficie singo- 

 lare. Così pel complesso quadratico avente un gruppo di 2 indici caratteristici, come [(il) 1111], vi 

 sono delle rigate quadriche (4 in quel caso), intersezioui di 3 complessi fondamentali isolati, tali che 

 le loro rett<5 tagliano la superficie singolare nello stesso rapporto anarmonico , che è un invariante 

 assoluto. Così ancora segue da quel teorema che nel complesso [(11) (11) 11] tutte le rette della con- 

 gruenza dei due complessi fondamentali isolati determinano uno stesso rapporto anarmonico sulla su- 

 perficie singolare. Dunque: sa due quadriche si tagliano in un quadrilatero sghembo, tutte le rette 

 appnggiate sulle diagonali di questo tagliano le quadriche secondo un rapporto anarmonico fisso. Ecc. 



