150 SULLA GEOMETRIA DELLA EETTA ECC. 



direttrice appartenente alla quaterna focale quei due piani coincidono nel piano che 

 congiunge il punto stesso all'altra direttrice della corrispondente congruenza di rette 

 singolari, e similmente ogni piano passante per una retta focale lia la conica del 

 complesso scissa in due punti coincidenti nel punto d'intersezione di quel piano colla 

 dii'ettrice coniugata. Cosicché quelle 4 direttrici delle congruenze di rette singolari , 

 le quali costituiscono la quaterna focale, hanno tutti i loro punti e piani per punti 

 e piani dop;pi rispetto ad ogni complesso della serie omofocale, mentre ciò non accade 

 per le altre direttrici ; questo spiega anche il perchè quelle caratterizzino la serie omofo- 

 cale di complessi quadratici, mentre quelle direttrici secondarie mutano col mutare 

 il complesso in questa serie ('). In ogni retta singolare di uno di questi complessi qua- 

 dratici il punto singolare ed il piano singolare corrispondenti saranno determinati dallo 

 stare il punto sulla direttrice principale (focale) della congruenza lineare singolare cui 

 quella retta appartiene, e dal passare il piano per quella direttrice stessa, e non per 

 la direttrice secondaria come afferma il Weiler. 



Risulta immediatamente da proposizioni generali da noi stabilite che ogni com- 

 plesso lineare fondamentale di un complesso i^uadratico qualunque di questa classe 

 contiene o l'uno o l'altro dei due sistemi di generatrici della quadrica, che è super- 



(■) U Weiler nel suo lavoro sbaglia completamente a proposito di queste congruenze di rette 

 singolari , attribuendo alle 2 diretti'it;! di una stessa congruenza uffizi correlativi , contrariamente a 

 quanto accade. Egli in fatti afferma a proposito dei casi [(111)111], [('^1I)]1], [(111)21], ecc., ripe- 

 tutamente che delle due direttrici di una di quelle congruenze l'una è luogo di punti doppi , l'altra 

 inviluppo di piani doppi del complesso quadratico ; il che non è. In conseguenza dà anche qualche 

 costruzione erronea. Credo perciò non inutile il dare qui i valori veri delle coordinate delle direttrici 

 delle congruenze singolari, almeno per due casi. Pel caso più generale [(111) 111] supponendo co 

 Weiler che l'equazione di condizione per la retta e l'equazione del complesso quadratico siano risp. : 



»,--+- x^-^ x^+ x^'-^- x^-\- a;/ = , /_j x^^-lr l^ x^--k- Ig x^=:Q , 



si trovano per le direttrici x', ce" di una congruenza lineare di rette singolari le coordinate : 



< = ^i =x-s' — 0, a?; = l/ )., (;.3- )., ) , 



^s' = ^h(''e-\) > 



^^s' =i^'d'i—h) . 



^/'=< = <=0 , 



x,"=\/).,{\-\){\-h-y,) 



.Ts"= / hih—'tìJa—''^—^) , 



!Po"=^ 'eOt~hì'^\-'-h) . 



e per le altre congruenze singolari basterà in queste espressioni cambiare il segno ad uno dei 3 ra- 

 dicali che vi compaiono. Si può allora verificare analiticamente che le 4 direttrici che si hanno da af 

 sono appunto quelle principali, che dicemmo rette focali, mentre le 4 rette x'' sono le direttrici se- 

 condarie; e si verifica pure immediatamente che il passaggio ad un complesso qualunque della serie 



omofocale, passaggio che si effettua ponendo — r in luogo di )., : non muta le rette x\ ma muta le 



rette a/'. Per questo caso il Weiler non trova le coordinate di quelle direttrici. Le dà invece per il 

 caso [(211) UJ , ma dà espressioni errate, il che spiega come anche in questo caso trovi risultati er- 

 ronei. Le vere coordinate delle due direttrici per ciascuna congruenza di rette singolari , nell'ipotesi 

 che all'equazione del complesso si dia, come fa il Weiler, la forma : 



P 34 ' P 12 



, ^^/' = 21/i, >,(>,-/,) , i ^'"f = , p",,= \-^ K , p",3 = PV-y',.= , 



P 12 ' P 3i 



di cui p' è direttrice principale, o focale, p" è direttrice secondaria. 



