PEK COKKADO SEGKE 151 



ficie singolare : coutieue quello a cui appartengono le 8 dii-ettrici considerate se fa 

 parte del sistema lineare doppiamente infinito di complessi fondamentali, altrimenti 

 esso conterrà il sistema delle rette doppie. Orbene in quest'ultimo caso si corrispon- 

 dei-anno rispetto al complesso fondamentale considerato le 4 direttrici principali a 2 

 a 2, e anche le 4 direttrici secondarie a 2 a 2. Questo mostra come un complesso 

 quadi-atico della serie omofocale sia determinato quando, essendo già data questa e 

 per conseguenza la quaterna di rete focali (direttrici principali) si dà ancora una di- 

 rettrice secondaria di una congruenza lineai-e singolare. Si vede pure che se 2 rette 

 della quaterna focale coincidono, coincideranno pure con esse le direttrici secondarie 

 corrispondenti, cosicché due delle 4 congruenze singolari coincideranno nella congruenza 

 speciale delle tangenti lungo quella retta alla superficie singolare. 



Venendo finalmente al distinguere i vari casi che si presentano in questa classe 

 di complessi quadratici ricordiamo che la quaterna focale proveniva dalla intersezione 

 di due quadriche a 1 dimensione in uno spazio lineare a due dimensioni (due co- 

 niche nel piano), delle quali due quadiicbe una notevole è rappresentata dalla rigata 

 quadrica in cui sta quella quaterna di rette. Dunque dal teorema del n° 160 siamo 

 ridotti a classificare le quaterne di punti d'intersezione di una conica fissa con altre 

 coniche nel piano. Ora dalla nostra teoria generale risulta immediatamente che nel 

 caso [111] quei 4 punti sono distinti, nel caso [21] due di essi coincidono, nel caso 

 [3] ne coincidono tre. Inoltre nel caso [(11)1] coincidono a coppie in 2 punti e nel 

 caso [(21)] coincidono tutti 4. — Se la conica fissa si scinde in una coppia di rette, 

 allora nel caso [1 11] si hanno 2 punti su ciascuna retta, nel caso [1 2] sull'una 

 retta coincidono quei due punti, nel caso [21] su ciascuna delle due rette uno dei 

 2 punti è andato a coincidere col loro punto d'intersezione, nel caso [3] sull'una 

 delle due rette anche l'altro punto è andato a coincidere con questo, e nel caso 

 [1 (11)] su ciascuna delle due rette i 2 punti del caso generale coincidono. - — Fi- 

 nalmente se la conica fissa si riduce ad una retta doppia, allora nel caso [(11)1] vi 

 sono 2 punti (doppi) distinti, e nel caso [(21)] questi coiiacidono. 



AppKcando adunque la regola fornita dal teorema citato avremo per le varie 

 specie di complessi quadratici le seguenti particolarità, dipendenti solo, entro ciascuna 

 delle 3 sottoclassi, dalla quaterna focale. 



1. Superficie singolare una quadrica doppia non degenerata. 



[(111)111]. Caso generale: le 4 rette focali, e quindi anche le 4 congruenze 

 lineari di rette singolari sono distinte. Vi sono 3 complessi fondamentali isolati in- 

 volutori. 



[(111)21] . Due rette focali coincidono in una retta doppia del complesso qua- 

 dratico (proveniente dall' indice caratteristico 2) ; due delle congruenze lineari singo- 

 lari coincidono neUa congruenza speciale delle tangenti alla quadrica lungo quella retta. 



[(111)3]. Tre rette focali coincidono in una retta doppia, e quindi anche 3 

 delle 4 congruenze singolari coincidono nella congruenza speciale delle tangenti alla 

 quadrica lungo quella. 



