152 SULLA GEOMETRIA DELLA BETTA ECC. 



II. Quadrica degenerata in due piani con due punti comuni. 



[(211)11]. Caso generale: I due sistemi di generatrici della quadrica sono scissi 

 in due coppie coniugate di fasci, di cui l'una è composta di rette doppie del com- 

 plesso, l'altra contiene le quattro rette focali, 2 per ciascun fascio. Vi sono 4 con- 

 gi-uenze lineari di rette singolari, di cui ciascuna ha per direttrici una di quelle rette 

 focali e una retta dell'altro fascio (di quella stessa coppia di fasci). 



[(211)2]. Sull'un fascio coincidono due rette focaU in una retta che sarà doppia 

 pel complesso quadratico. Le congruenze lineari di rette singolari relative alle altre 

 due rette focali non si specializzano (*) ; invece coincidono le altre due, e, com'è 

 facile vedere, in una congruenza lineare che si scinde nel piano e nel punto di rette 

 i quali contengono quel fascio. 



[(311)1]. Delle due rette focali di ciascuno dei 2 fasci, una per ciascuno è 

 Tenuta a coincidere colla retta comune ai due fasci, e corrispondentemente due delle 

 4 congruenze lineari di rette singolari coincidono in una congruenza speciale avente 

 quella retta per asse. 



[(411)]. Tre delle 4 rette focali coincidono colla retta comune ai 2 fasci e 

 danno luogo ad una congruenza lineare di rette singolari (contata tre volte) scissa 

 nel piano e nel punto di un fascio ; rimane nell'altro una retta focale che dà luogo 

 ad una congruenza lineare generale di rette singolari. 



III. Superficie singolare: un piano e un punto uniti contati 4 volte. 



[(221)1]. Due rette focali distinte per quel punto in quel piano, le quali sono 

 assi di congruenze lineali speciali, che, contate doppiamente, comprendono tutte le 

 rette singolari del complesso quadratico. 



[(321)]. Quelle due rette focali e quindi anche quelle due congruenze lineari, 

 coincidono. 



Classe F. 



Complessi quadratici, le cui caratteristiche contengono un gruppo di 

 8 indici ed uno di 2. 



Essi hanno un sistema lineare doppiamente infinito di complessi lineari fonda- 

 mentali ed inoltre un fascio di altri complessi lineari fondamentali involutori a quelli. 

 Yi è dunque una rigata quadrica di rette doppie ed inoltre vi sono due rette doppie 

 (distinte o coincidenti) sulla rigata quadrica coniugata. La superficie di 2" grado che 

 contierfe queste rigate è ancora, contata doppiamente, la superficie singolare come ac- 

 cadeva per la classe precedente. 11 complesso quadratico è ancora generabile con due 

 fasci di complessi lineari proiettivi, le cui congruenze di base abbiano comune la ri- 

 gata quadrica delle rette doppie, ma anche con fasci convenienti di complessi lineari. 



(•) Il Weiler (loc. cit., n" 27) dice invoce die queste due cnngi'uenze lineati sono speciali con 

 direttrici che si tagliano. 



