154 SULLA GEOMETRIA DELLA RETTA ECC. 



La formula generale ci dà o per grado della serie omofocale di questo complesso 

 quadratico, ed in realtà vi è solo un complesso quadratico die abbia quella super- 

 ficie singolare. Bisogna notare che dicendo « superficie singolare » intendiamo non 

 solo l'insieme dei suoi punti e dei suoi piani, ma anche l'insieme di quei suoi punti 

 e piani che sono doppi rispetto al complesso quadratico. Quindi le superficie singo-' 

 lari p. e. dei complessi quadratici [(111)111] e [(111)(111)] sono ben diverse, quan- 

 tunque costituiscano entrambe delle superficie generali di 2° grado doppie; ma pel 

 complesso [(111)111] i punti ed i piani doppi formano 4 generatrici determinate di 

 quella superficie (la quaterna focale), mentre pel complesso [(111 )(1 11)] tutti i punti 

 ed i piani di quella superficie di 2° grado sono doppi (V. anche la nota al n° 144). 



Come caso particolare del complesso ora visto delle tangenti di una superficie 

 di 2" grado va considerato il caso [(222)], che incontrammo nella classe E. Si può 

 in fatti imaginare il caso [(222)] come derivato da quello [(111)(111)] facendo av- 

 vicinare indefinitamente i valori delle due radici triple del discriminante corrispondenti 

 ai due gruppi caratteristici di questa. Già notammo che in tal caso vi è tutto un 

 piano (o tutto un punto) di rette doppie, del complesso quadratico e della sua super- 

 ficie singolare : ciò proviene dal fatto che le due serie lineari doppiamente infinite di 

 complessi fondamentali essendo involutorie devono diventare una serie di complessi li- 

 neari tutti speciali, quando vengono a coincidere. È chiaro che quella quadrica come 

 luogo di punti (o inviluppo di piani) si sarà ridotta a quel piano doppio (o quel punto 

 doppio), e quindi come inviluppo di piani (o luogo di punti) si sarà ridotta ad una 

 conica di quel piano (o ad un cono avente il vertice in quel punto). Dunque nel caso 

 [(222)] il complesso quadratico si compone o delle secanti di una conica, o delle tangenti 

 di un cono. — È da notarsi però che in questi casi la superficie di piani singolari, o ri- 

 spettivamente dei punti singolari, si può considerare come indeterminata : ogni piano dello 

 spazio è singolare pel complesso quadratico delle secanti di una conica ed ogni punto 

 dello spazio è singolare pel complesso quadratico delle tangenti di un cono quadrico- 



171. Con ciò è compiuta la classificazione, che intendevamo fare dei complessi 

 quadratici, trascurando quelle specie che si scindono in complessi lineari (*). Come 

 già facemmo per la classe A dei complessi quadratici, così per le altre si possono 

 dare le caratteristiche delle congruenze quadratiche focali, facendo uso del teorema 



(*) Tutti i risultati da noi ottenuti vanno d'accoi-do con quelli del Weiler salvo alcune inesat- 

 tezze, che già rilevammo, della memoria di questo. Vogliamo ancora notare qualche altra inesattezza di 

 quella memoria , pensando così di far cosa utile ai cultori della geometria della retta , ai quali può 

 spesso accadere di doverla consultare. Pel complesso [(22) 11J, la cui superficie singolare vedemmo scin- 

 dersi in un cono quadrico ed una conica, lo rette singolari formano due congruenze quadratiche risp. di 

 tangenti al cono e di secanti della conica ; i 2 complessi lineari a cui queste congruenze risp. appar- 

 tengono non sono punto involutori come dice il Weiler (n" 23). Lo stesso errore si ripete pel caso 

 [(32) )] , che vedemmo esser caso particolare di questo (Weiler, n° .35). Nel caso [(22) '..'J vi è, come 

 parte della congruenza di 2° grado delle rette singolari, una congruenza quadratica di tangenti di un 

 cono (o di secanti di una conica), la quale appartiene ad un complesso lineare che non è quello spe- 

 ciale indicato dal Weiler (n» 40), ma un certo complesso lineare generale. Quest'ultima osservazione 

 fu pure già fatta, almeno in parte, dall'HiEST nella memoria citata , in cui si trovano anche corrette 

 due altre inesattezze del Weilek, a proposito dei co.mplossi quadratici [{1 1)(ll) ?] e [(31) 1 1)], le quali 

 perciò non abbiamo notato. 



