156 SULLA CtEojietklì della retta ecc. 



in genere vi sono 39 specie di congruenze quadratiche (*). — Similmente contando 

 le specie da noi trovate di complessi quadi'atici se ne hanno 49. 



Quanto poi alla classificazione, che pure intendevamo fare, delle rigate biqua- 

 dratiche, essa è contenuta (tenendo anche conto di tutte le degenerazioni possibili di 

 quelle rigate) in quella delle classi B, C, D, F dà complessi quadi-atici. 



172. Terminiamo col ricordare, riguardo alla classificazione dei complessi qua- 

 dratici, che entro ciascuna tra parecchie delle specie che noi così abbiamo trovato 

 possono esservi ancora varii casi diversi proiettivamente tra loro: ciò accade per tutte 

 quelle specie che sono dotate di invarianti assoluti. Xoi vedemmo (n° 141) come si 

 riconoscano queste specie e come per ciascuna di esse si possa assegnare immediata- 

 mente non solo il numero degl" invarianti assoluti, ma anche quei gruppi di elementi 

 di forme di 1" specie che li danno come rapporti anarmonici (*'■•). Così, come no- 

 tammo, il complesso quadratico più generale ha 4 invarianti assoluti, di cui 3 ap- 

 partengono alla sua superficie singolare. Così la superficie singolare corrispondente alla 

 caratteristica [222] non avrà invarianti assoluti, sicché potremo conchiudere che una 

 superficie di Steiner (o la sua reciproca) non ha invarianti assoluti. Così la superficie 

 singolare [(11)1111], cioè la rigata biquadratica, ha 2 invarianti assoluti (V. n° 156), 

 e possiamo anche trovarli applicando la regola generale data. Si consideri cioè il piano 

 tangente in un punto qualunque di quella superficie: la taglierà in una generatrice 

 ed una cubica passante per quel punto ; le 4 tangenti condotte da questo a quella 

 cubica, e quella generatrice formano un gruppo di 5 rette di un fascio, che rimarrà 

 proiettivo a se stesso mutando il punto della superficie ed avrà per invarianti asso- 

 luti quelli della supei'ficie. Per uno di questi invarianti assoluti si potrà dunque as- 

 sumere il rapporto anarmonico di una cubica piana contenuta nella superficie, donde 

 risulta che questo rapporto anarmonico è lo stesso per tutte le cubiche piane della 

 superficie, proprietà nota importante della rigata biquadratica e che noi così abbiamo 



(*) Con una rappresentazione, fli cui abbiamo già parlato , e che si riduce in sostanza ad una 

 proiezione stereografica di una quadrica a 3 dimensioni (generale o specializzata) , si può ricondurre 

 allo studio delle congruenze quadratiche di un complesso lineare, generale o speciale, lo studio delle 

 superfìcie di 4° ordine con conica- doppia , generale o scissa in due rette — od anche viceversa. In 

 questo senso dunque si può dire che la classificazione di quelle congruenze quadratiche e la classifi- 

 cazione di queste superficie di 4° ordine sono identiche tra loro. Il fatto che nella geometria della 

 retta non si ha il corrispondente del caso in cui la conica doppia di quelle superficie si scinde in due 

 rette coincidenti dipende dal non potere un complesso lineare essere doppiamente specializzato, perchè 

 la quadrica di rette non è specializzata. 



(**) Il teorema, che ivi notammo, cioè che ogni fascio di complessi lineari polari di rette rispetto 

 ad un complesso quadratico contiene sempre un complesso involulorio con ogni sistema lineare di 

 complessi fondamentaii di quello, dà luogo a nuove proprietà riguardanti varie specie di complessi 

 quadratici. Così io ogni complesso quadratico avente un fascio di complessi fondamentali potremo 

 ■dire che le due rette doppie corrispondenti di quello stanno sempre in un complesso lineare rispetto 

 a cui sono coniugate una retta qualunque dello spazio e la sua polare rispetto al complesso quadra- 

 tico. Cosi in ogni complesso quadi-atico avente un sistema lineare doppiamente infinito di complessi 

 fondamentali, e quindi la superficie singolare ridotta ad una quadrica doppia, p. e. nel caso [(III) Il 1], 

 una retta e la sua polare rispetto al complesso taglieranno le stesse due generatrici di un certo si- 

 stema di quella quadrica : il sistema cioè delle rette doppie del complesso. Quindi nel caso [(III) (1 1 1)] 

 una retta e la sua polare tagliano le stesse generatrici di entrambi i sistemi della quadrica singolare 

 e quindi sono polari rispetto a questa quadrica nel senso ordinario della parola. 



