PER CORRADO SEGRE. 157 



ottenuto come caso pai-ticolai-e di una proprietà delle superficie singolari di complessi 

 quadratici. Similmente notando che la superficie singolare [(11)(11)11] deve avere un 

 invariante assoluto ed interpretando questo nello stesso modo die nel caso pi'ecedente 

 si ha una proprietà notevole di due quadriohe passanti per uno stesso quadrilatero 

 sghemho. E così via dicendo. 



Così nella specie più generale di complessi quadratici, cioè [111111], è incluso 

 quel complesso quadratico, che fa studiato dal Battagìiui (che lo considerava invece 

 come il complesso quadratico più generale) (*). La superficie singolare di un tale com- 

 plesso è un tetraedroide di Cayley, e corrisponde alla relazione d'involuzione del 

 gruppo dei 6 complessi quadratici speciali della serie omofocale relativa a quella su- 

 perficie. Inoltre se si prendono i due elementi doppi di quell'involuzione si hanno i 

 due soli complessi quadratici di Battaglini relativi al tetraedroide (cosa che dimosti'erò 

 in altra occasione). È notevole come dalla considerazione di quell'involuzione e delle 

 note proprietà della superficie di Kummer si ricavino quelle del tetraedroide. Se si 

 considera un piano doppio qualunque, i 6 punti doppi che stanno sulla sua conica 

 di contatto formeranno un'involuzione e quindi saranno congiunti a 2 a 2 da 3 rette 

 concorrenti in un punto, pel quale in conseguenza passeranno altri 3 piani doppi. Si 

 vede così che i 16 piani doppi passano a 4 a 4 per certi 4 punti (pei quali il cono 

 circoscritto alla supei"ficie si scinderà in conseguenza in due coni quadrici) e che si- 

 milmente i 16 punti doppi stanno a 4 a 4 su certi 4 piani (nei quali la curva d'in- 

 tersezione coUa superficie si scinderà in due coniche). Ma è pure facile scorgere che 

 quei 4 punti e questi 4 piani formano lo stesso tetraedro, poiché in uno di questi piani 

 i 4 punti doppi della supei'ficie, che vi stanno, formano un quadrangolo, di cui ognuno 

 dei 3 punti diagonali, stando su due rette congiungenti di punti doppi, e quindi inter- 

 sezioni di piani doppi, della superficie, è punto comune a 4 piani doppi, ossia è uno dei 

 4 punti sopra considerati. Si hanno così le proprietà principali del tetraedroide (*'"). 



(*) V. Giornale di matematiche, voi. 6 e 7. 



(*") L'esposizione delle proprietà note del complesso quadratico di B.WTAQLiNr e di alcune mie 

 ricerche su esso furono oggetto di alcune conferenze da me tenute nell'anno scolastico 1881-82 nella 

 scuola di Magistero relativa al corso di Geometria superiore. Recentemente ne trovai una nuova pro- 

 prietà interessante, che dimostrerò in altra occasione: quella di potersi rappresentare su un complesso 

 lineare di coniche iscritte in un tetraedro. 



Il complesso quadratico di Battaguni si può poi anche generare (in infiniti modi) come luogo delle 

 rette che tagliano armonicamente due quadriche fisse [o correlativamente). Questa proprietà che fu 

 scoperta dall'AscHiERi [Giornale di mot., voi. 8°), assunta come definizione del complesso quadratico, 

 conduce a cercare quante e quali delle divers e specie di complessi quadratici si possano generare in 

 quel modo. Il mio amico carissimo Gino Loria ed io abbiamo fatto insieme questa ricerca assai in- 

 teressante. Da essa risulta che molte delle specie di complessi quadratici si po.'^sono generare in questo 

 modo, ad esempio la spacie [2221, che ha per superficie singolare la superficie di Steiner o la sua 

 reciproca. Da quella generazione si ottengono varie proprietà di quéi complessi e doUe loro superficie 

 singolari, delle quali alcune sono nuove. 



