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SULLO SCOSTAMENTO DELLA LINEA GEODETICA ECC- 



nelle quali y^ </„" yà' • • • ^ò ^ò' ^ò" ■ • ■ indicano i valori che le derivate di diverso 

 ordine delle coordinate y & s (considerate come funzioni della variabile indipendente x) 

 prendono nel punto J.(a;„2/o^o)- Se scegliamo il punto A come origine delle coordinate, 

 e facciamo coincidere l'asse delle x con la tangente alla precedente curva nel punto A , 

 aTremo 



2/„'=0 ^o'=0 



e le precedenti serie si riducono alle altre 



v,3 ~.4 



/y^ ry" /y^ rp 



2/=2/o 2+2/0 -g+2/o 24+2/0 j^ 



„3 



x' 



yy-^ ry' ry^ 



-^„^ + ^„ g+^o 2^ + ^o -J20+- 



'" 2 



(2)- 



Per determinare i coefficienti delle diverse potenze di x , esprimiamo analiticamente 

 la proprietà caratteristica delle linee geodetiche, di avere il piano osculatore in ogni 

 loro punto normale alla superficie. Chiamando X Y Z le coordinate correnti, l'equa- 

 zione del piano osculatore ad una curva nel punto {x, y, g) è 



X-x Y-y Z-. 

 dx cly ds 



d'^x d'-y d'z 



= 



(a)> 



(4), 



(5), 



che dovendo essere normale alla superficie data 



u = F{x, y, ^■) = 

 fa d'uopo contenga la normale ad essa 



x — x+:p{Z—s)z=o 



Y-y+q{Z-,) = 



nelle quali equazioni i) e q indicano le derivate prime parziali di s rispetto ad x ed y , 

 che si ottengono dalla derivazione della equazione (4). 



In virtù delle precedenti equazioni (5) la (3) diviene, scegliendo x come va- 

 riabile indipendente 



p q -ì 



1 y' 2' =0 



y" s' 



ovvero 



y" + q2"+P {.v'y"—y'.i) — 



(6), 



che insieme alla equazione (4) determina le linee geodetiche sulla data supeificie. 



Le due derivate parziali ^ e g' si annullano per x^ = y^=:g^:=Q avendo scelto 

 il piano tangente in A per piano delle xy , sarà perciò 



2/0"= 



,(7). 



