200 EICEKCHE INTORNO ALLA GEOMETRIA DELLA SFERA ECC. 



Volendo proseguire nella via aperta da Pliicker, è naturale di proporsi di sta- 

 bilire geometrie di altri enti che possano con vantaggio considerarsi come elementi 

 del nostro spazio; e primo fra questi enti si presenta la sfera. La presente Memoria 

 si deve considerare come un primo tentativo di stabilire la geometria dello spazio di 

 sfere: dico primo perchè i lavori di Lie e Eeye non mi sembrano avere il fine che 

 ho teste indicato. 



Infatti, le importantissime ricerche di Lie , esposte nell'omai celebre Memoria 

 Uehcr Complexe inshesondere Linien tind Kiigel-Coniplexe (Math. Annalen Bd. V, 

 p. 145) (*), quantunque informate alle idee di Pliicker, non possono riguardarsi come 

 un fondamento della geometria della sfera, giacché il loro scopo principale fu lo 

 stabilire una connessione fra questa e la geometria della retta, e il loro precipuo ri- 

 sultato (geometrico) si trova nelle importanti proposizioni di geometria metrica che 

 l'autore mostrò potersi trarre dalla rappresentazione del complesso lineare di rette 

 sullo spazio punteggiato ( già indicato da Nother (**) ) disponendo convenientemente 

 degli elementi fondamentali della rappresentazione. 



Invece l'opera del Eeye [Synthetische Geometrie dcr Kugein, ecc. 1879) ha 

 per iscopo uno studio diretto dello spazio di sfere; ma il carattere elementare che 

 l'autore volle imprimere alla sua esposizione non gli permise di introdurre nel suo 

 lavoro quei concetti ampii che formano il pregio massimo e il carattere distintivo 

 della moderna geometria. 



Volendo afiVontare lo studio dello spazio .di sfere coli' aiuto dell'analisi è in- 

 dispensabile stabilire da principio un sistema di coordinate per le sfere. Il metodo 

 pili generale (e nello stesso tempo più conforme alle idee di Pliicker) è quello di la- 

 sciarne dapprima indeterminato il significato, e, partendo dal fatto che lo spazio di 

 sfere è lineare e a quattro dimensioni (perchè si può far corrispondere proiettivamente 

 air insieme delle quadriche passanti per una conica fissa), prendere per determinare 

 una sfera quattro quantità indipendenti o meglio i rapporti di cinque, che diremo 

 X; (« = 1 .2.3.4.5). Allora in questo spazio appariranno quali spazii subordinati a 

 tre dimensioni gli ordinarli spazii di punti e di piani, quadratico il primo (***), lineare 

 il secondo (vedi nel testo la nota al n. 6) e tangenti fra loro. Ottenuta cosi una 

 prima rappresentazione analitica dello spazio di sfere , un' altra se ne può ottenere 

 colla seguente considerazione: Se X,'"' , . . • , X/^' sono le coordinate di cinque sfere 

 qualunque, ogni altra sfera avrà coordinate della forma x, X/'^ + . . . +a;5X/^' ; le 

 quantità x^ sono necessarie e sufficienti per determinare coi loro rapporti univocamente 

 una sfera, onde possono assumersi quali nuove coordinate di una sfera. Ora è evidente 

 che, per la generalità delle coordinate .r,. , non è necessario il supporre che le coor- 

 dinate X; siano le più generali possibili, ma basta che esse soddisfino alla condizione 

 di individuare una sfera e di esserne individuate ; laonde, quando si abbiano in vista 

 le applicazioni , si potranno scegliere le X; nel modo più opportuno. È chiaro che. 



'*) Vedi anche utia nota nei Compies rendus de l'Académie des Sciences de Paris (t. LXXI , 

 1871, p. 579). 



(**) Zur Theorie des algebraischen Functionen, ecc., Gcltfinger Nachrichten, 1869, p.SO'l. 

 (***) Chiameremo in seguito, per brevità, quadrica dei punti lo spazio punteggiato considerato 

 in questo modo. 



