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per le applicazioni allo spazio ordinario, conveiTà prendere per coordinate X,- i coeffi- 

 cienti dell'equazione di una sfera in coordinate cartesiane: è questo il partito a cui 

 mi sono appigliato. Questo, lo ripeto, feci unicamente in vista delle applicazioni che 

 mi ero proposte ; ma poiché, qualunque sia il significato che attribuir si voglia allo X,. , 

 sassistono sempre gli sviluppi che concernono la teoria generale dello spazio di sfere, 

 così la scelta da me fatta non trae seco che le mie ricerche di pura geometria della 

 sfera abbiano un fondamento estraneo a questa. Questa scelta sarà, credo, pienamente 

 giustificata, quando si pensi che lo studio dello spazio di sfere in se coincide con quello 

 di un qualunque spazio lineare a quattro dimensioni , epperò si può ritenere già in 

 parte compreso in lavori meritamente noti di geometria a quante si vogliono dimen- 

 sioni (*) , ma che invece esso acquista un interesse individuale quando lo si con- 

 sideri in relazione coll'ordinario spazio punteggiato. 



Le considerazioni ora esposte costituiscono il fondamento delle ricerche che feci 

 sulla geometria delle sfere, i cui risultati principali contenuti in questo lavoro, passo 

 ad esporre brevemente. 



Nella prima parte studio il sistema di coordinate ora definito e le proprietà 

 generali dello spazio di sfere. Stabilisco anzitutto una proprietà importante del si- 

 stema di coordinate la quale estende i risultati ai quali si perviene col suo mezzo a 

 tutte le trasformazioni per raggi reciproci dello spazio e trovo il significato di una 

 trasformazione (lineare) di coordinate. Cerco poi le condizioni affinchè una sfera si ri- 

 duca a un punto o a un piano e concludo che : La geometria dello spazio punteggiato 

 equivale alla geometria di una quadrica a tre dimensioni in uno spazio lineare a 

 quattro, mentre la geometria dello spazio di piani è quella di un piano in questo 

 medesimo spazio. Introducendo la considerazione delle trasformazioni lineari dello spazio 

 di sfere e avendo di mira le applicazioni alla geometria dello spazio punteggiato, si 

 presenta una questione analoga ad una che s' incontra nello studio dell' ordinaria 

 geometria metrica. Come in questa si domanda quali siano le trasformazioni omo- 

 grafiche che mutano in se stesso il cerchio imaginario all'infinito, così nel nostro caso 

 è naturale chiedersi quali fra le trasformazioni lineari dello spazio di sfere lascino 

 immutata la quadaica de' punti. Ebbene, a ciò si risponde : Se si associa al gruppo 

 delle trasformazioni dell'ordinaria geometria metrica (movimenti e trasformazioni per 

 simmetria e per similitudine) quello delle trasformazioni per raggi vettori reciproci, 

 si ottiene il gruppo delle trasformazioni lineari dello spazio di sfere che lasciano 

 immutata la quadrica dei punti. Segue da ciò che la geometria proiettiva dello spazio 

 di sfere nel quale esiste come ente fisso la quadrica dei punti, equivale alla geo- 

 metria metrica del nostro spazio quando si stabilisca di considerare come identiche 

 due figure mutabili l'una nell'altra con una trasformazione per raggi vettori reciproci. 

 Donde la giustificazione dell'epigrafe posta a questo lavoro : 



(*; Jordan, Essai sur la Geometrie à n dimensione (Bulletin de la Soc. Math. de France, t. Ili, 

 pag. 103 e seg.). D'Ovidio, Le funzioni metriche fondamentali negli spasi di quante si vogliano di- 

 mensioni (Memorie della R. Accademia de' Lincei, 1876-77). 



Veronese, Bthandlung der projectiKischen Yerhàltnisse, etc. (Math. Aanalen, Bd. XIX, p. 161). 



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