202 RICERCHE INTORNO ALLA GEOMETRIA DELLA SFERA ECC. 



« La geometria dei raggi reciproci nello spazio equivale alla geometria pro- 

 iettiva di una varietà rappresentata da una equazione quadratica omogenea fra cinque 

 variabili » (*). 



Proseguendo nello studio del sistema di coordinate, dimostro che le coordinate 

 di una sfera da me usate sono suscettibili di un'importante interpretazione geometrica 

 sia nel caso generale , sia quando la sfera si riduce a un punto o a un piano ; vengo 

 così naturalmente ad associare al sistema di cinque sfere fondamentali un secondo 

 sistema di cinque sfere che ba un' importanza grandissima pel nostro studio. La me- 

 trica niello spazio di sfere presenta una particolarità degna di nota ; se, cioè , nello 

 spazio a quattro dimensioni si stabilisce una metrica proiettiva avente per assoluto 

 la quadrica dei punti, si trova per espressione della distanza di due punti la stessa 

 che si ottiene per l'angolo di due sfere nello spazio ordinario: considerato in questo 

 modo, lo spazio di sfere, ba dunque per base una metrica ad assoluto reale. 



La seconda parte comprende uno studio di sistemi lineari o quadratici di sfere. 

 A base di esso sta la proposizione : Un complesso lineare di sfere è l' insieme delle 

 oo^ sfere ortogonali a una sfera fissa. Applicandola, si trova la sfera ortogonale del com- 

 plesso lineare delle sfere ridotte a piani e si indica una via per determinare le coor- 

 dinate della sfera ortogonale a quattro sfere date; applicazioni della stessa proposizione 

 sono le determinazioni geometriche delle sfere di una congruenza o di un fascio, dalle 

 quali risultano poi facilmente la dimostrazione di un elegante teorema enunciato da 

 Moutard. 



Esaurite le proprietà fondamentali dei sistemi lineari di sfere, passo ai quadra- 

 tici. Dimostro subito che in un complesso quadratico di sfere sono contenuti oo^ fasci 

 di sfere; mi volgo poi ad esporre la teoria della polarità rispetto a un complesso 

 quadratico e determino di passaggio le equazioni di questo in coordinate di sistemi 

 lineari di sfere. Un'applicazione importante della teoria della polarità rispetto a un 

 complesso quadratico si presenta nella determinazione di quelle funzioni che io chiamo 

 invarianti dei sistemi lineari di sfere ; queste funzioni godono , però , di proprietà 

 invariantive solo rispetto alle trasformazioni lineari dello spazio di sfere che mutano 

 in sé stessa la quadrica de' punti, esse sono cioè invarianti simultanei del corrispon- 

 dente sistema e della quadrica dei punti. Per chiarire completamente questo fatto, 

 apparentemente strano, che una stessa funzione si presenti sotto due aspetti diversi, 

 rammenterò ciò che dissi dianzi sulle trasformazioni lineari dello spazio di sfere e 

 riporterò queste parole di Klein (Vergi. JBetr. p. 9): « Se si sostituisce il gruppo 

 principale di trasformazioni con uno più. comprensivo , sussisteranno ancora soltanto 

 alcune delle proprietà geometriche. Le altre non appariranno più come proprietà in- 

 trinseche degli enti geometrici, ma come proprietà del sistema che risulta associando 

 ad esse una certa figura. Questa figura (quando è determinata) è definita dalla pro- 

 prietà di ammettere fra le trasformazioni del dato gruppo solo quelle del gruppo 

 principale ». Per farne l'applicazione al caso nostro basta supporre che il gruppo 

 principale sia quello che si ottiene associando il gruppo delle trasformazioni per raggi 



(*) Klein, Vergleichende Betrachlungen ueber neuere geometrische Forschimgen, 1872, p. 22. 



