DI GINO LORIA 203 



reciproci a quello dell'ordinaria geometria taetrica, che il gruppo più comprensivo sia 

 formato da tutte le trasformazioni lineari dello spazio di sfere, che la figura speciale 

 di cui sopra è parola sia la quadrica dei punti e che finalmente le proprietà che 

 cessano d'essere intrinseche siano quelle espresse dall' annullarsi degli inyarianti dei 

 sistemi lineari di sfere. 



I complessi quadratici di sfere, oltre ad invarianti ■ di questa specie (che si otten- 

 gono cercando gl'invarianti simultanei di due complessi quadratici e quindi facendo 

 coincidere uno di essi colla quadrica dei punti), posseggono eziandio una funzione 

 che ha carattere invariantivo per tutte le trasformazioni lineari dello spazio di sfere: 

 la considerazione di questa funzione dà i complessi quadratici specializzati una o due 

 volte. In ogni fascio di complessi quadratici vi sono in generale cinque complessi 

 quadi'atici semplicemente speciali, ma può esservene un numero minore e alcuni pos- 

 sono divenii-e doppiamente speciali; queste costituii'anno altrettante particolarità della 

 congruenza di quarto grado che è sostegno del fascio e l'esame dei varii casi che si 

 possono presentare darà la classificazione completa delle congruenze di quarto grado. 



Una importante congruenza quadratica è costituita dagli oo- punti sfere di un 

 complesso quadratico di sfere; questi punti costituiscono una superficie che dimostro 

 essere in generale una superficie di quarto ordine avente il cerchio imaginario all'infinita 

 per linea doppia cioè, seguendo la denominazione proposta da Darboux, una cielide. Le 

 proposizioni esposte sullo spazio di sfere porgono un modo nuovo e uniforme che sì rac- 

 comanda per la sua eleganza e semplicità, di dedurre i principali teoremi che riguardano 

 queste superficie: cosi si ottengono le generazioni della superficie come luogo di punti 

 e come inviluppi di sfere e le loro modificazioni , i piani bitangenti , le rette della 

 superficie, le curve focali, i fuochi, ecc., ecc. Infine si può ottenere l'equazione più 

 generale del sistema di ciclidi omofocali : la memoria del Eeye : Ueher quadratische 

 Kugelcomplexe und confocalen CycUden (*) mi fu in questa ricerca di grandissima 

 utilità , tanto che posso dire essere , quanto feci a questo proposito, non altro che 

 una generalizzazione analitica e un complemento delle ricerche dovute a questo il- 

 lustre geometra (**). 



La terza parte racchiude la soluzione del problema che diede origine a' miei 

 studii sulla geometria della sfera, cioè la classificazione delle ciclidi. Già Darboux e 

 Casey nei loro importanti lavori su questa superfìcie (***) si erano proposti questa 

 questione , ma né l'uno né l'altro di questi geometri segui un metodo che assicu- 

 rasse che ninna delle superficie di cui si tratta fosse sfuggita (****]. Definendo la 

 cielide come luogo dei punti sfere d'un complesso quadratico di sfere si ha la sua 

 rappresentazione analitica con due equazioni quadratiche omogenee, onde si può ap- 



(•) CoUeclanea mathematica, 1881, p. 241 e seg. 



(**) Cfr. anche le Schlussbemerkungen della Memoria dello stesso autore: TJeber lineare und 

 quadratische Strahlen-complexe und Complexen-Geuoebe. Journal f. d. r. u. a. Matk. Bd. 95, p. 347 

 [Agosto 1884J. 



(***) Darboux, Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques, etc. Paris, 1873. 

 Casey, On Cyclides and Sphero-quartics. Philosophical Transactions of the R. Society of London, 1871. 



(*•**) Basti il dire che Caset aveva dimenticate le ciclidi con tre e quattro punti doppi , e non 

 ne tenne conto che dopo le osservazioni di Catley (v. la memoria citata, p. 622). 



