204 RICERCHE INTORNO ALLA GEOMETRIA BELLA SFERA ECC. 



plicare il metodo e il teorema di Weierstrass (*) avente per oggetto la distinzione 

 in ispecie delle coppie di forme bilineari e quadratiche. Il metodo permette di as- 

 segnare le varie forme (canoniclie) sotto cui si possono porre le due equazioni rap- 

 presentatrici della ciclide; il teorema ci dice che due ciclidi, le cui equazioni appartengono 

 a specie diverse, non si potranno mai mutare l'una nell'altra mediante una delle tra- 

 sformazioni di cui prima (pag. 201) si tenne parola. Tutte le ciclidi che corrispondono alle 

 varie forme canoniche debbono (in forza di questo teorema) essere ù-a loro diverse, 

 ed infatti lo studio particolare da me fatto su ognuna delle forme canoniche mi porse 

 le particolarità di ogni specie e mi guidò alla conclusione che vi sono diciotto specie 

 di ciclidi non mutabili l'una nell'altra mediante trasformazioni jìroiettive o raggi 

 reciproci. Per ogni specie determinai le singolarità , la disposizione delle rette , le 

 proprietà focali e i modi di generazione: ciò mi parve essere più che sufficiente a 

 caratterizzare ciascuna. Ma nel sistema di ciclidi omofocali ad ima data vi è almeno 

 una superficie di terzo ordine, onde il metodo seguito dà pure una classificazione 

 delle ciclidi di terzo ordine. Siccome poi l'insieme di una ciclide di terzo ordine 

 e del piano all'infinito può sempre considerarsi come la trasformazione proiettiva di 

 una superficie di terzo ordine e di un piano passante per una sua retta, cos'i è 

 evidente che il metodo indicato deve dare tutte le superficie di terzo ordine. Se non 

 tutte le specie di Schlaiìi (v. la Memoria da esso pubblicata nelle Fhilosophical 

 transactions , 1863 (**) ) si presentano nella enumerazione da me fatta, gli è che 

 alcune delle superficie di Schlafli si possono ottenere da altre con una conveniente 

 trasformazione per raggi reciproci. 



Esposto cosi sommariamente il contenuto di questo lavoro mi sia lecito fare una 

 osservazione sull'indole e la portata del metodo seguito in queste ricerche. 



Io mi servii per brevità della parola sfera per designare l' elemento dello 

 spazio che studio, ma tutto ciò che esposi può applicarsi integralmente allo spazio 

 delle quadriche passanti per una conica fissa non degenerata. Per conseguenza la clas- 



(•) Zur Theorie der bilinearen und quadralischen Formen. Berlinen Monatsberichte , Mai, 1868. 



Il metodo di Weierstrass fu già applicato con successo da Gundelfinger (nelle note alle Vor- 

 lesungen v.ber die anaìytische Geometrie des Raumes di Hesse, 3^ ed. 1876), da Klein (Inauguraldis- 

 seriaiion, 1868) e da Weiler (Math. Ann., Bd. YII) per classificare le quartiche di prima specie e i 

 complessi quadratici di rette. 



Dello stesso modo io feci applicazione (la prima, credo, relativa a forme bilineari) per ottenere le 

 varie specie di corrispondenze omografiche che possono stabilirsi fra due spazii a due o tre dimensioni. 

 Per le forme dì seconda specie non ottenni omografie che non fossero già note , ma per lo spazio 

 giunsi ad alcuni risultati che credo nuovi, i quali mi permisero poi di stabilire quali fra i complessi 

 quadratici di rette aventi per superficie singolare un tetraedro proprio o degenerato, possano generarsi 

 colle congiungenti o colle intersezioni degli elementi corrispondenti di due spazii proiettivi di punti 

 o di piani [Il lavoro qui citato venne poi pubblicato nel Voi. 22, p. 1 del Giornale di Matematiche, 

 (Agosto IS8V,]. 



Infine, un' ultima applicazione dello stesso teorema fu fatta dal mio carissimo amico Corrado 

 Segre e da me in un lavoro comune, in cui proponemmo di riconoscere quali dei complessi quadratici 

 di rette possano venir generati dalle rette che secano armonicamente due quadriche date [Anche 

 questa Memoria ha già visto la luce e trovasi nel Voi. XXI II, p. 213 dei Mathsmatische Annalen, 

 (Agosto 1884)]. 



(**) On the distribution of surfaces of the third Order into species in reference to the presence or 

 absence of singular Points, and the reality of their Lines. 



