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sificazione delle ciclidi da me indicata si può intendere come quella delle superficie 

 di quarto ordine a conica doppia non scissa in due rette {*). 



Si presenta ora natiu'ale la questione della ricerca analoga per le superficie di 

 quai'to ordine aventi per linee doppie due rette che si secano (**). Ora il metodo 

 da me seguito è applicabile con lievi modificazioni anche a questo caso. 



Per mostrarlo notiamo che la ragione per cui è possibile applicare le ricerche 

 di Weierstrass alla classificazione delle superficie di quarto ordine a conica doppia 

 è che una tal superficie si può rappresentare con un' equazione quadratica omogenea 

 fra cinque variabili fra cui passa una relazione quadratica omogenea di discriminante 

 non nullo. Orbene , per una parte , una superficie di quarto ordine con due rette 

 doppie che si secano è rappresentabile con un' equazione quadratica omogenea fra 

 cinque variabili ù'a cui passa una relazione quadratica omogenea di discriminante 

 nullo (se le due rette doppie sono infinitamente vicine, tutti i determinanti di quarto 

 ordine del discriminante sono nulli) ; d'altra parte, i risultati di Weierstrass presup- 

 pongono unicamente che una sola delle due forme che si considerano non sia spe- 

 cializzata, dunque di essi si può far uso per raggiungere lo scopo indicato. 



CAPITOLO PRIMO 

 Proprietà generali dello spazio di sfere. 



1. Siano date cinque sfere qualunque aventi per equazioni cartesiane 



(1) s, = {x-a,y^{y-^.,y+{,-y,y-E;=0 (.- = 1.2.3.4.5). 



Qualunque altra sfera dello spazio potrà rappresentarsi con un'equazione della 

 forma : 



(2) s^s,x,-i- s^x^-h 83X3-^- s^x^-i- s^x~=zO ■; 



confrontando infatti quest'equazione con quella d'una sfera arbitraria si ottengono, 

 per determinare le x^ quattro equazioni lineari omogenee ; d' altronde date le Xi , o 

 meglio, dati i rapporti di -quattro di queste quantità alla rimanente, è determinata 

 ìq modo unico la sfera s. Dunque le x^ possono assumersi come coordinate omogenee 

 della sfera s; chiameremo fondamentali le sfere (1). 



Da tale definizione delle coordinate x^ , segue immediatamente : Date cinque 

 sfere di coordinate x^^''^ {i, h = 1. 2. 3. 4. 5) ogni sfera del fascio determinato dalle 



(*; KuMMER nella sua Memoria : Veher die Fldchen viertes Grades auf ivelche Schaaren non 

 KegeUchnitte liegen (Berliner Monatsberichte 1863) considerò alcuni dei casi particolari di queste 

 superficie; altri ne considerò Kobndórfer nel suo lavoro: Die Abbitdung einer Fldche vierter Ordnung 

 ■mit einer Doppelcurve zweiten Grades und einem oder mehreren Doppelpunclen (Math. Annalen, 

 Bd. I, II). Ma un gran numero di quelli da me ottenuti sfuggirono all'attenzione di questi geometri. 



(•*" Anche alcuni casi di queste superficie furono già studiati da Korisdóbpek in altra Memoria 

 (Math. Annalen, Bd. III). 



