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RICERCHE INTORNO ALLA GEOMETRIA DELLA SFERA ECC. 



a;/'), a:/"^ ha coordinate della forma X''^ a;/'* + ).*^'x/^*, ogni sfera della rete determinata 

 dalle x^'\ x^-\ x^'^ ha coordinate della forma X<'> x}'^ + ),<-> a;/') + X('> x^'\ ogni sfera 

 del sistema lineare di terza specie determinato dalle x}'\ a;/"^ a;/'\ a;/** ha coordinate 

 della forma X<'> :r/'>+ XW:r/''+ X'^^x/'^+X^'J a;/'>, infine ogni altra sfera dello spazio 

 ha coordinate della forma X('> ^/'J + X'-' a^i^^ + X('> a;/'' + X"'' xM^ + l'-'^xpK 



2. Le coordinate Xf ora definite godono di una importante proprietà, la quale 

 può enunciarsi così: 



Se si trasforma per raggi reciproci lo spazio di sfere e si chiamano S; , S 

 le trasformate di s,, s, allora la sfera S trasformata di s, ha rispetto alle S; trasfor- 

 mate di Sf , le stesse coordinate che aveva s rispetto alle s,- . 



Per dimostrare questo teorema rammenteremo che, se l'origine delle coordinate 

 è il centro e 1^ la potenza della trasformazione per raggi reciproci, al punto di coor- 

 dinate X, y, z corrisponde quello le cui coordinate X, F, Z sono determinate dalle 

 equazioni : 



Ti^'x „ li^ij „ ¥z 



X = 



Y= 



Z~ 



X -h »/ -H^ 



e che quindi alla sfera ayente per equazione 



a(x^-¥- y""-^ z'') -^ 2(bx-^ cy -\- dz)-i- e — , 



corrisponde la sfera 



e{X"-+- rV Z') -t- 2 k'{bX ^cY-^dZ)-^ a¥- 



(ridotta a un piano se e ^ 0). Ora se poniamo per brevità di scrittura 



(3) «;+i3;-t-7;-^;=i'; 



(p^^ non è che la potenza dell'origine rispetto alla sfera s,(*)) e applichiamo le 

 formolo di trasformazione ora citate alle sfere 



Si^x^-\-y'^-^ z^— 2 (y.^x-^fJ^y -i-^/iz) -i-,p^'=z 

 s^lSiXi^2Xi(x'^-i-y'--i- s'-) — 2{laiXi-x-i-l^iX^-y-ì-IyiZi.z)-h lpi^Xf= 



ti i i i i 



otterremo le sfere 



Si=pi' {x^-h ìf H- ^^) - 2 yt' («i ,2; 4- P; 2/ -+- 7i ^) -H *'' = . 

 S^ lp-^Xi{x^-\-y''-+- /) — 2 h^ [loCj^Xi-x^ I^^x^-y-i- Sy^aj,-. z)-^Jc'< 1x^ = . 



i i i 



Ma da queste si ricava immediatamente 



S = l.SiX, , 



i 



dunque le coordinate di S rispetto alle /S^ sono le stesse di s rispetto alle Sj . e. d. d. 



{*) Le quantità a., ^., y^, p.", sono secondo il Reye {W. Synthetische Geometrie der Kugeln, *ec., 

 1879, p. 75-76) le coordinate della sfera i, = 0. 



