DI GINO LORIA 207 



Da ciò risulta che lo studio analitico dello spazio di sfere basato su un certo 

 sistema di cinque sfere fondamentali comprende tutte le trasformazioni per raggi re- 

 ciproci dello spazio stesso. 



3. Vogliamo ora stabilire quale sia il significato geometrico di una trasformazione 

 lineare delle coordinate x^. Siano X,- le nuove coordinate e siano esse definite dalle 

 equazioni : 



(4) Xi = I o.A Xj (;■, 7i = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 , a,,, in generale ^ «aJ . 



h 



Per definizione (u. 1) la sfera s di coordinate a;,- ha per equazione in coordinate 

 cartesiane (*) 



i 



in virtù delle (4) questa può scriversi 



s ~2 Si 1 a^X/.^ 1 a^i, S; X^ = , 



cioè s ^1X^1 a,A S; ; 



se adunque poniamo 



(5) S^=laff,Si , 



potremo scrivere 



s=2S,X,= . 



E questa ci prova che le nuove coordinate X definite dalle equazioni (4) sono 

 le coordinate analoghe alle x ottenute prendendo quali sfere fondamentali le cinque 

 sfere S definite dalla (5) ; notiamo anche che le (4) (5) ci dicono che per determinare le 

 nuove sfere fondamentali basta trovare cinque sfere le quali abbiano, nel primitivo 

 sistema, per coordinate i coefficienti della sostituzione lineare trasposta della sosti- 

 tuzione lineare data. 



Per conseguenza, dicendo che mediante una trasformazione lineare si può ridurre 

 una relazione fra le a; a una certa forma, affermeremo la possibilità di determinare 

 cinque sfere taU che, riferendosi ad esse, la relazione nelle nuove variabili sia della 

 forma assegnata. 



4. La sfera che in coordinate cartesiane ha per equazione 



a (x^ -+- y'' -h z'^ ) -h 2 [b X -h e y -ì- d s) -i- e := , 



ha il suo centro nel punto di coordinate 



b 



e 



d 



a 



a 



a 



(*) Ove non si avverta il contrario, s'intenderà che le somme indicate vanno estese da i=^\ a i = 5. 



