208 RICERCHE INTORNO ALLA GEOMETRIA DELLA SFERA ECC. 



ed il quadrato del suo raggio uguale a 



&' + c' + (?' — a e 

 a 



La sfera di coordinate a;; rispetto alle sfere (1) ha per equazione cartesiana 



I ìli i 



onde il suo centro (^x, y, z) ed il suo raggio R sono determinati dalle seguenti 

 equazioni : 



la^Xi 2^,Xi 2y^Xi 



(6) ^ = '-TZ- ' y = ^T:r ' '^' 



(7) H 



1 Xf IXj IXi 



5. Il numeratore di quest'espressione di E^ (che indicheremo con B^^) può 

 trasformarsi in modo noteyole. Sviluppando i quadrati e i prodotti indicati otteniamo : 



Hxx = 2 («.•"+ Pi' + 70^*'-*- 2 2 {c(iC(^-i- |3i|3^-f- yri,,)xiX^ 

 — 2 (a" -\- (i^ -t- 7^- Ut -^ «/ + P/ + 7*' - ^k ) Xi x,— l x^ {a" -+- /3/ -(- 7^' - B,^) , 



i, h i 



cioè (indicando con i , h una combinazione binaria dei numeri 1 , . . . , 5) 



i?,.,. = 2 i?,V - 2 [(a, - a, ) + (i3, - p, y + (7, - 7,)^ - (E^ + B^)] x, x, . 



Ora se C; e C^ sono i centri dell'^™" e della /e"'" sfera fondamentale, la funzione 



b:+ jb;- c;c:= j?;+ e;- [(«,- a,)^+ (p,- p,r+ (7- 7.)^ 



è una funzione molto importante per le due sfere, il cui annuUai'si è condizione ne- 

 cessaria e sufficiente affinchè le due sfere siano fra loro ortogonali : noi le daremo il 

 nome di invariante simultaneo delle due sfere {*). Se una delle due sfere è un 

 punto sfera l'iuTariante simultaneo di esse si annulla quando il punto sta sull'altra sfera ; 

 se entramhe sono punti-sfere, affinchè siano ortogonali la loro distanza dev'esser nulla, 

 epperò essi debbono stare su una secante del cerchio imaginario all'infinito. 



Se quindi poniamo 



(8) 2R,,= 2B,,^Bt^B;- [(«,- «,y + (p,_ p,)V {^-J^Y] , 



(9) jr;=iì\, , 



(*) Il quoziente di essa pel doppio del prodotto dei raggi delle due sfere è la funzione a cui il 

 sig. LoCAS dà il nome di patema mutua delle ifere stesse (V. Sur un principe fondamenial de Geo- 

 metrie et de Trigonometrie , Memorie della R. Accademia dei Lincei. Serie IH, Voi. II). 



Avvertirò che, generalizzando una definizione data da Steiner [Einige geometrische Betrachtungtn 

 n. 10, Ges. Werhe, 1, p. 32); il sig. Affolter introdusse {Uath. Annalen Bd. IV, p. \Vó) altre due 

 funzioni dei raggi e della distanza dei centri delle due sfere; esse si difierenziano dalle funzioni di cui 

 precedentemente tenemmo parola, perchè ognuna di esse si annulla, non già quando le due sfere sono 

 fra loro ortogonali, ma quando esse si toccano internamente o esternamente. 



