DI GINO LOKU 209 



potremo scrivere definitivamente 



(10) B,,, = lBa.XiX^ 



ove ì Jc è lina disposizione binaria completa dei numeri 1 , . . . , 5. 



Chiameremo per brevità R^^^ forma fondamentale del dato spazio e scriveremo 

 la (7) così 



('■) ^"^c^-- 



6. Dalla (7') possiamo traiTe alcune conseguenze importanti. 

 Le coordinate a",- assoggettate a convenienti limitazioni possono servire a rappre- 

 sentare i punti e i piani dello spazio. Infatti la (7') ci prova che se 



J?„=rO , 

 la sfera di coordinate .r,- ha raggio nullo, epperò riducesi a un punto-sfera ; se invece è 



la sfera di coordinate x^ ha raggio infinito, epperò riducesi a un piano. 



Donde segue che se si considerano le sfere come i punti d'uno spazio in cui ciascun 

 elemento è determinato dalle cinque coordinate omogenee x,-, la geometria dell'or- 

 dinario spazio punteggiato è quella di un jjunto di quello spazio a quattro dimen- 

 àoni soggetto a trovarsi sulla quadrica a tre dimensioni JR^^ =. , mentre la geometria 

 dell'ordinario spazio di piani è quella di un punto dello stesso spazio a quattro 

 dimensioni obbligato a stare sul piano a tre dimensioni 2 x^^ {*). I punti 



i 



comuni a questi due spazii a tre dimensioni, sono le oo^ sfere che possono riguar- 

 darsi sia come punti sia come piani, cioè gli oo- piani tangenti del cerchio imaginario 

 all'infinito. 



Sono di grande importanza, per lo studio dello spazio di sfere in connessione 

 collo spazio punteggiato, quelle trasformazioni lineari dello spazio stesso per le quali 

 la quadiica dei punti non muta; esse sono le oo^^ trasformazioni del tipo 



x^ = l\,y, (i,A= 1.2.3.4.5) , 



k 



che mutano la forma fondamentale i?^^ in un multiplo di se stessa. A questa cate- 

 goria appartengono le co^ trasformazioni per raggi reciproci, e le oo' trasformazioni 



(*; Allo stesso risultato si giunge senza far uso di forinole nel seguente modo : 

 Nello spazio di sfere il bi-punto o retta è il fascio di sfere. Ora un luogo a n — 1 dimensioni 

 contenuto in uno spazio lineare ad n dimensioni è di un ordine dato dal numero dei suoi punti che ap- 

 partengono a qualunque retta dello spazio principale. Per conseguenza, nel nostro caso, il luogo delle 

 sfere ridotte a punti e il luogo delle sfere ridotte a piani saranno di ordini uguali rispettivamente al 

 numero dei punti-sfere e dei piani-sfere che stanno in un fascio di sfere. Ma è noto che in un fascio 

 di sfere vi sono due punti sfere (punti doppi dell'involuzione determinata dal fascio di sfere sulla linea 

 dèi centri) e un piano-sfera Jil piano radicale); dunque il luogo dei punti sfere è una quadrica, il luogo 

 dei piani-sfere è un piano, come appunto si ottenne analiticamente. 



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