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RICEECHE INTORNO ALLA GEOMETRIA DELLA SFERA ECC. 



che risultano trasportando comunque una figui'a e sostituendola con una ad essa 

 simile. Delle oo^' trasformazioni che si ottengono combinandole fra loro non 

 sono fra loro distinte che oo'°. Consideriamo infatti una trasformazione per raggi 

 reciproci di centro e potenza Jì e una trasformazione per omotetia di centro 

 e rapporto fj. . Se in virtù della prima il punto A mutasi in A' e se in virtù 

 della seconda il punto A' si muta in A, , saranno , A , A', A, punti d'una retta 

 e avremo : 



OA. 



P- ■ 



OA.OA' = k ; 



OA 



Ora da queste due relazioni sì trae 



OA.OA, = Jcp. 



dunque le due trasformazioni equivalgono insieme a una trasformazione per raggi reci- 

 proci di centro e potenza K^hp.. Di più, a questa stessa trasformazione si giunge 

 sostituendo alle due costanti h , p. altre due h', p.' soggette all'unica condizione di 

 soddisfare l'equazione ?:.' p.' = K, dunque, non solo una trasformazione per omotetia 

 dà assieme a una trasformazione concentrica un'altra trasformazione per raggi reci- 

 proci, ma quest'ultima può ritenersi in oo' modi con due trasformazioni della specie 

 indicata. Donde segue la proposizione enunciata ed infine l'altra: 



Il gruppo delle trasformazioni lineari dello spazio di sfere che non mutano 

 la quadrica dei punti, si ottiene associando al gruppo delle trasformazioni lineari 

 dell' ordinaria geometria metrica, quello delle trasformazioni per raggi reciproci. 



7. Data un'equazione quadratica omogenea nelle cinque variabili x^ di forma 

 arbitraria (vedi n. seg.) noi potremo sempre considerarla come l'equazione di con- 

 dizione a cui debbono soddisfare le coordinate dei punti- sfere di uno spazio di 

 sfere. Di più essendo in conseguenza noti i raggi e gì' invarianti simultanei (n. 5) 

 delle cinque sfere fondamentali , si potrà determinare il sistema di riferimento ; anzi 

 siccome dei centri delle cinque sfere da determinare non sono note che le mutue 

 distanze, così in generale si potrà costrurre il sistema di riferimento in oo^ modi. 

 Senza eseguire in ogni caso la determinazione effettiva delle cinque sfere fonda- 

 mentali, si possono assegnare, col solo esame della data forma fondamentale It^x, 

 le particolarità del sistema di riferimento. Infatti, rammentando che -R,,- non è che 

 il quadrato del raggio dell'/'"" sfera fondamentale e che J?,,,. vale la metà dell'in- 

 variante simultaneo dell' i"" e della h""" sfera fondamentale , si ottengono subito i 

 seguenti criterii : 



a) Se in M^^ manca il termine in x^ , V «'""' sfera fondamentale è un 

 punto-sfera. 



h) Se in R^^ manca il termine in a;,- x^ sono fra di loro ortogonali Vi'"" e 

 la Tf" sfera fondamentale. 



Donde poi risultano le regole più particolari : 



e) Se in jR^^ mancano i termini in xf e in x^ x^ , Vi'"' sfera fondamentale 

 è un punto-sfera posto sulla Ti'"" sfera fondamentale. 



