DI GINO LORIA 



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(7) Se in i?,.^. mancano i termini in ;?•,.% in ,r/ e in x,- x^ le sfere fondamen- 

 tali •«""' e A-""" sono due punti -sfere posti su una secante del cerchio imaginario 

 all'infinito (*). 



8. Dicemmo al principio del numero precedente che la forma fondamentale si può 

 scegliere ad ai'bitrio ; ora però dobbiamo aggiungere una limitazione relativa ai suoi 

 coefficienti fondata sulla seguente proposizione generale: 



Fra i raggi di cinque sfere qualunque ed i loro invarianti simultanei passa 

 una relazione. 



Per dimostrare questo teorema rammenteremo che dati ad arbitrio cinque punti 

 nello spazio, se si indicano con c?,-^ (=(?^,) i quadrati delle loro mutue distanze, si 

 ha la relazione (**). 



1 1 



1 d., 

 1 (?,. . . (?,, = 



1 



d.. 







Se quei punti sono i centri di cinque sfere di raggi i?, delle quali {le l) siano 

 gli InTarianti simultanei, si ha (n. 5) : 



onde di^ = (Z^,- ■==. i?;^-H i?/ — (i h) . 



Sostituendo questi valori nell'equazione precedente otterremo: 



1 E,VE/-(12) i?/ 



1 i?,'-+-I?/-(21) i?/ 



1 I?3^+E/-(31) E/+i?/-(32) 



1 P..^^-J?/— (41) Ji/H-i?,^-(42) B^"- 



1 i?3^-i-i?/-(51) E3^+iJ/-(52) B,^ 



11 1 



■i?3^-(13) E.^-hE/-(14) E.^+E5'-(15) 



■E3^-(23) B:-^B,'-(24:) B: 

 iJ3=+i?^^_(34) ^3^ 



B,^ 



B. 



^,^-(43) 



■E3^-(53) ì?5^+E;-(54) 



.(25) 

 (35) 

 (45) 



Questo determinante può molto semplificarsi ; togliendo infatti dalla ^J"" oriz- 

 zontale la prima moltiplicata per B^'' e poi facendo la stessa operazione sulle ver- 

 ticali si ottiene: 



= 0. 



(*) Cfr. le regole date da Klein {Die atlgemeine lineare Transformation der Liniencoordinaten, 

 Mathematische Annalen, Bd.II, p.366) e riportate da Weiler (Ueber die verschiedenen Gattungen der 

 Compiile zweiten Grades , Ib. Bd. VII, p. 151) per dedurre dall'equazione che lega le più generali 

 coordinate di una retta, le specialità del sistema dei complessi fondamentali. 



(") Baltzer, Theo-rie v.nd Andwendung der Deierminanten, 5" Auflage, p. 238. 



