DI GINO LORIA 



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10. Si presenta ora la questione: Data la forma fondamentale e le coordinate 

 cartesiane di un punto, trovare le coordinate x^ di questo. 



Per lisponderyi basta evidentemente risolvere rispetto alle x^ il sistema delle equa- 

 zioni (6) (n. 4) e della 



B.. = 



che comprende evidentemente la (11). — Poniamo in particolare che la sfera i' sia ortogonale a tutte 

 le sfere del sistema non accentuato di indice diverso da i, onde viceversa i sarà ortogonale a tutte le 

 sfere del sistema accentuMo di indice diverso da i' ; sarà allora (i k')^Q per Ar^i epperò l'ultima 



relazione scritta si trasforma in 

 (12») 



1 

 (II')" 



1 

 '(ti.')' 



\ 



' (55-) 



= 



la quale è una generalizzazione della (12). Consideriamo un caso speciale quello cioè in cui uno dei 

 due sistemi consta di 5 punti sfera , e l'altro delle 5 sfere circoscritte ai 4 tetraedri che possono for- 

 marsi con essi: potremo allora applicare l'ultima equazione ottenuta, ma di più notando che (11') non 

 è che la potenza P, del punto 1 rispetto alla sfera circoscritta al tetraedro 2 3 4 5 e che (22'), ..., (55') 

 hanno significati analoghi, ottenerne la relazione 





-F + - 



.-^^ = 



la quale esprime il seguente elegante teorema dovuto al Frobenius e da esso dimostrato in modo 

 diverso da quello ora tenuto (V. la Memoria inserita nel voi. 79 del Journal far die reine und an- 

 gewandte Mathematik , p. 223). 



Dati cinque punti, si considerino le cinque sfere circoscritte ai cinque tetraedri da essi determinali ; 

 la somma delle inverse delle potenze dei primi rispetto alle seconde^ è uguale a zero. 



Di un altro caso particolare della formola dimostrata al principio di questa nota , vogliamo fare 

 un cenno, di quello cioè in cui ogni sfera del secondo sistema è tangente alle quattro, d'indice diverso 

 del primo. In tal caso si ha in genere 



(i fc') = ± 2 Ri R'k , per 



i^k 



(ove si prenderà il segno superiore o l'inferiore seeondochè il contatto è interno od esterno) onde 

 l'equazione primitiva diviene, dopo poche semplici trasformazioni, 







R, ' 



J 



R. 



1 



1 ... ± 1 



57' *» *^ 



(55') 



= 



Se , finalmente , facciamo l' ipotesi , che il secondo sistema di 5 sfere coincida col primo , avremo 

 r equazione 



1 ì .. i 



R. 



R^ R^ 



È. ' 



R, 



±1 .. ±1 



±1 ±1 .. 1 



= 



la quale lega i raggi di cinque sfere a due a due tangenti ; i doppi segni che si trovano nel suo primo 

 membro devono soddisfare all'unica condizione di rendere simmetrico il determinante che vi compare. 

 La relazione a cui giungemmo risponde alla decimasesta delle questioni proposte a pp. 207-212 del 

 Voi. Ili del Giornale di Creile da Steiner ; una verificazione della sua esattezza può aversi dal suo 

 confronto colla relazione fra i raggi di 4 cerchi d'un piano a due a due tangenti, già trovata da 

 Steiner {Einige geometrische Betrachtungen, n. 29, CreUe's Journal, Bd. I). 



