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RICERCHE INTORNO ALLA GEOMETRIA DELLA SFERA ECC. 



rammentando che H^^ non è che il numeratore della frazione che dà il quadrato del 

 raggio B della sfera a;,- (n, 4. eq. [7]), vedremo che all'ultima delle equazioni del 

 sistema si può sostituire la seguente: 



IPiXi 



X -¥- y -¥- z ^ 



Ix, 



e che quindi il sistema che bisogna risolvere rispetto alle a;,- è: 



(a, —x)x,-+- {oc, —y)x,-f-{cci — x) x^-i- {a^ — x) x^-^ (cx^ —x)x^=0 

 (i3, -2/)a;,-+-((3, -2/)x,-+-(p3 - y) x^-h {^^ - y ) x^-h (^ s - y) x,=:z 



(y. — ^)«,+ ("A — ^)^z-i-(73 -^)%-f-(74 — ^)^4-+-(75 — ^)^5=0 

 {p,^ — r^)x,-+- (p,^ — r')x,-+- {lh—r")x3-^ (jp^— r^)x^-h (p/- r^)x^= . 



avendo posto per brevità x^ +y^ + ^ =: r^. 



Chiamando i kl m n una permutazione circolare di 12 3 4 5 avremo dunque : 



Xi 



ossia 



(13) 



?>H-y Pt-y ^m-y K-y 



Ih 



Ir 



Im - ^ In 



Pk —r Pi —r p„ 



»" Pn 



1 1 111 



'^■k—x ^i— X cx„~x a„ — x 



(3* -2/ |3,-^ /3^-2/ (3„-y 



7*—^ P(— ^ -Jn.— ^ 7a-^ 



2222 2,,i« 





1 



1 



1 



1 



1 





«A 



«; 



a„. 



<y-n 



X 



«.■ = 



P. 



P< 



|3. 



|3. 



y 





7a- 



7/ 



7m 



7« 



z 





i^/ 



i^z' 



l'm' 



i^/ 



x"-hy 



Sviluppando questo determinante secondo l'ultima verticale otterremo una rela- 

 zione della forma 



(14) 



Xi = Ai(x^ 



■y 



") -+- B,x -hCiy-hD,z^E, («=1.2.3.4.5). 



11. Queste equazioni [14] ci provano che le coordinate x^ del punto {x, y, 0) 

 sono proporzionali alle sue potenze rispetto alle sfere aventi per equazioni: 



St = A,(x"-+- y^-h /) -h Bix -\-Ciy-^I)iZ-+-Ei — . 



Le sfere S^ sono pienamente determinate dalle cinque sfere 5; ; ciò risulta dal 

 modo con cui giungemmo ad esse, ma anche dalla seguente proposizione: 



La sfera Si è ortogonale a ciascuna delle sfere s,, , s^ , s^, , s„ . 



