DI GINO LOKIA 



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Per dimostrare questo teorema osserveremo che in generale l'invariante simul- 

 taneo delle due sfere 



è espresso da 



a (.c'-t- :'/-(- / ) -h 2 (^ix -\- cy -+- dz)-+- e = ; 

 a'(/-^ }/-+- z') -f- 2 (i'x -+- c'y -+- d'z)^e' = <ò , 



ae'-+-a'e—2{hV-^cc'-+-dd') 



aa 



(*); 



per conseguenza l'invariante simultaneo delle sfere 



S,=Ai{x'-^ /-+- /) -^JB,x + C,y-^D,0-i-E, = O; 



vale 



cioè è proporzionale al risultato della sostituzione delle quantità ; 



nel primo membi'o dell'equazione di Si in luogo rispettivamente di 



a;^-t- y^-i- / , x , y z . 



Dunque l'invariante simultaneo in discorso è proporzionale a 

 11111 



«* 



«/ 



«nx 



<^n 



C-h 



h 



|3. 



p. 



^ 



P. 



Ik 



Il 



Im 



"U 



7a 



Pk 



P: 



PJ 



Pn 



Ih 



Ora questa quantità è nulla per h = le, 1, m, n, dunque la sfera Sf è ortogonale 

 alle sfere s^ s, s„ s„ come si era asserito. — Per concludere, diremo : 



Le coordinate X; di un ^unto-sfera rispetto a cinque sfere qualunque sono 

 proporzionali alle potenze del punto stesso rispetto alle sfere ortogonali alle cinque 

 quaterne di sfere che 'possono formarsi colle cinque sfere date. 



Segue da ciò : 



Le ^potenze di un punto rispetto a cinque sfere qualunque sono legate da una 

 equazione quadratica omogenea. 



(*) In generale l'invariante simultaneo delle due sfere di coordinate a;,, t/( è espresso da 



