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EICEKCHE INTORNO ALLA GEOMETRIA DELLA SFERA ECC. 



Darboux era giunto con altro metodo alla stessa conclusione (*) ; la via da noi 

 seguita ci guida anche alla seguente regola per ottenere questa equazione quadratica: 



Se Sj, Sj, Sg, S^, Sg sono le date sfere, si determinino le cinque sfere s^ s, Sg s^ s^ 

 rispettivamente ortogonali alle quaterne di sfere: S^SgS^Sg; S^S^S-S^; 8^858^82; 

 85 8j 8383; 8j 82838^; r equazione che lega le coordinate di un punto rispetto alle 

 sfere SjSoSgS^Sj è quella cercata che collega le potenze dello stesso punto rispetto 

 alle sfere date. 



Quando in particolare le cinque sfere date sono due a due ortogonali , 5,- coin- 

 ciderà con Sf e le coordinate a;,- saranno proporzionali alle potenze del corrispondente 

 punto rispetto alle cinq^ie sfere fondamentali ; per conseguenza applicando la nostra 

 regola potremo concludere che le potenze a;, di un punto rispetto a cinque sfere orto- 

 gonali sono legate dalla relazione 



12. Le sfere S^ a cui fummo naturalmente condotti nel numero precedente por- 

 gono anche il significato geometrico delle coordinate a;,- di una sfera qualsivoglia. 



Consideriamo infatti una sfera qualunque S di coordinate a;,; la sua equazione 

 in coordinate cartesiane sarà 



lx^{x' + tf + 0')-2{Ia.x,x + l^jXjy+lyjX^z)+lp;xj = O , 

 > i i i ì 



onde l'invariante simultaneo di essa e della sfera 



S,= A,{x^ + y^ + z^) + B,x+G,y + I)^z + E,^0 , 



è espresso da 



A, Ip; x^ + B, 1 «. Xi + (7, 2 13,. x^ + D, 27^. x^ + E, 1 x,- 



Ailxj 



Eicordando infine i significati di A^ , . . . , E^ , e indicando con F; il volume 

 del tetraedro avente per vertici i centri delle sfere S/. 5, s^ s„ , avi-emo che l'invariante 

 simultaneo di cui si tratta è determinato dall'equazione 



{s,s.)r,~ 



1 



1 



1 



1 



ì 



a* 



a, 



'-(m 



< 



ì 



1^. 



13, 



P. 



^ 



i 



7a 



7i 



7™ 



7" 



i 



i3/ 



Pi 



P^' 



p: 



ip;x, 



i 



ove il seguo ^ indica una relazione di proporzionalità. 



(*) L. e. p. 27). 



