218 EICERCHE INTORNO ALLA GEOMETRIA DELLA SFERA ECC. 



Eseguendo le operazioni indicate e tenendo conto del fatto che il punto (x, y, z) 

 sta su entrambe le date sfere si trova 



211)1)' -\-cc + dd') — {ae+ae) 

 cos5= , . 



^\h"+c+d" — aeyi)' +c +d'^— a e 



Applichiamo ora questa formola alle sfere di coordinate «/,■ , ^,. ed otterremo per 

 determinare il loro angolo {y, e) l'equazione 



2 (2 «i ?/, 2 «i «i + 2 J3, «/,- 2 Pi ^i + 2 7, yt 1 7,. ^i) — (2 «/. Ipt ^i + 2 ^,- 2ì)ì" y^) 



i 



/ \ II II II 



cos (y ,s) = , 



ma si dimostra senza difficoltà che il numeratore di questa espressione non è che il 

 doppio della forma polare di i?., rispetto ad y o ài R^y rispetto & z; indicandolo con 

 JRy. = B.y avremo dunque 



(16) cos(f/,^) = 



By^ 



ByyB, 



yRyyR,, 



e quindi 



(17) sen(2/,.) = |/3-^^--^V^ 



(18) (2/,.)=:llogfct]^^^i. 



2^ ^Ry^-yRy^_-Ry^R^.^ 



14. Queste equazioni ci fanno vedere che nello spazio di sfere, lo spazio a 

 tre dimensioni 



R^^ — Q 



è quello che bisogna assumere come assoluto (*) per ottenere una metrica che coincida 



coU'ordinaria ; allora lo spazio di sfere ha per base una metrica ad assoluto reale (**). 



La quantità posta sotto il segno log nella [18] è (come si verifica facilmente) 



il rapporto anarmonico che le due sfere «/, z determinano coi due punti-sfere del loro 



fascio; laonde si può definire l'angolo di due sfere come il prodotto di — -: pel Ioga- 



ritmo del rapporto anarmonico che esse formano coi due punti-sfere del loro fascio. 



15. Dalla [16] possiamo dedurre varie conseguenze: 



a) La condizione necessaria, e sufficiente, affinchè le sfere y,z siano fra di loro 

 ortogonali, è espressa da 

 J?^,= . 



(') Catlet, a sixùi Memoir upon quantics (Philosophical Transactions of the R. Society of London, 

 1859, n. 209 e seg.). 



In seguito, quando dirò assoluto senz'altro, intenderò di parlare dell'assoluto dello spazio ordinario, 

 cioè del cerchio imaginario all' infinito. 



(**) Klein, Ueber die sogenannte Nichi- Euklidische Geometrie. Math. Ann., Bd. Il, pag. 577. 



Cremona, Sulla corrispondenza fra la teoria dei sistemi di rette e la teoria delle superficie (Atti 

 della R. Accademia dei Lincei, serie li, voi. 3"). 



