DI GINO LOKIA 



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h) La condizione affinchè le sfere y, z si tocchino (cioè che il loro angolo 

 sia un moltiplo di tt) è data da 



c) Supponiamo che le cinque sfere fondamentali siano due a due ortogonali 

 e cerchiamo l'angolo {i,x) che una sfera qualunque a; fa coiri""" sfera fondamentale; 

 applicando la [16] otten'emo 



j 



Addizionando le cinque equazioni che si ricavano da questa facendo successi- 

 Tamente /= 1, 2, 3, 4, 5, otteiTemo 



(19) 



1 cos' (i , a;) = 1 



la quale esprime una proprietà molto notevole (che non so se sia ancora stata notata 

 da alcuno), che può enunciarsi così: 



La somma dei quadrati dei coseni degli angoli, che una sfera qualunque dello 

 spazio fa con cinque sfere due a due ortogonali, è uguale all'unità. 



Questo teorema corrisponde alla nota relazione che lega i coseni degH angoli 

 fatti da una retta con tre assi ortogonali. 



f?) Xotiamo anche che le equazioni [16] , [17], [18] non hanno più senso 

 determinato se una o entrambe le sfere considerate son ridotte a punti, ma che invece 

 sussistono se le sfere degenerano in piani. 



e) La relazione dianzi trovata fra i coseni degli angoli fatti da una sfera 

 con cinque sfere a due a due ortogonali , è compresa come caso particolare in 

 quella che connette gli angoli di sei sfere qualunque e che può ottenersi nel se- 

 guente modo : 



Siano a;/'' [i=l, . . . ,6 ; 7:= 1, . . . , o) le coordinate delle sei sfere date e in- 



dichiamo con 





valore che assume 



DR^ 



dx, 



sostituendo in luogo delle coordinate 



correnti x^ quelle della sfera a;''^. Facendo il prodotto per orizzontali dei due de- 

 terminanti 



a:/')xJ')a;/-'a;/')a;/''0 



x}''^x^''^xi''^x^'^xS'H 



2V oa;. ;,' 2V ^ xj r " ' A ^ x, A' 



1 ^Vr7. 



(*) Si può notare che in generale si ha: cos[ix)-=-^ r-7- 



