DI GINO LORIA 



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che è l'equazione di ciii andavamo in traccia; essa fu già dimostrata per altra via 

 dal Frobenius (*). 



f) Ma anche la relazione (19*) è suscettibile di generalizzazione. Infatti, se con- 

 sideriamo due sistemi di sei sfere, che indicheremo coi numeri 1, . . . , 6 e l', . . . , 6', 

 otterremo con procedimento del tutto analogo a quello teste seguito 



(21) 



cos (11) cos (12') 

 cos (21') cos (22') 



cos (61') cos (62') 



cos (16') 

 cos (2,6') 



cos (66') 



= 



Facendo coincidere le sfere 1', . . . , 5' rispettivamente con 1, 

 cando con y, z le sfere 6, 6' otterremo l'altra equazione 



5 e indi- 



(22) 



1 



cos (12) 



cos (15) 



cos (21) 



1 



cos (25) 



cos (51) 



cos (52) 



1 



cos {y, 1) 



cos {y, 2) 



cos {y, 5; 



cos (1, x) 

 cos (2, x) 



cos (5, x) 



la quale può servire a determinare l'angolo di due sfere quando si conoscano gli angoli 

 che queste fanno con 5 sfere date (p. e. colle sfere fondamentali) ; supponendo final- 

 mente che queste ultime siano a due a due ortogonali si ottiene la relazione : 



(23) 



cos {x, y) =^ cos (i, x) cos («', y) , 



di cui è evidente l' analogia colla nota relazione che dà l'angolo di due rette in 

 funzione degU angoli che esse fanno con tre rette fra loro perpendicolari. 



16. Come applicazione proprietà delle esposte vogliamo stabilire la condizione 

 affinchè due date superficie rappresentate in coordinate x^ dalle equazioni > 



f{x,x^X3X^Xs) = ; g{x,x^X3X^Xs =0 , 



siano fra di loro ortogonali. Consideriamo perciò una qualunque delle sfere *?, e ne sia 



x,= {x- a,y+ (y - ky+ [z - c,f- rt = , 

 l'equazione; avremo 



1 dx, 



Idx^ 



1 dx, 



2^ = ^-"- 2jÌ=y-^^'' 2TJ='-'' 



(*) Journal fùr die reine und angewandu Mathematik, Bd. 79, p. 225. 



