222 KICERCHE INTOENO ALLA GEOMETRIA DELLA SFERA ECC. 



eppero: 





df dg 



+ 



+ 42 ^ ^((x- di) (x - a,) + (2/- è,) {y - l,) + (z-c,) {z-c,)] 



i,k<JXi <JXf,y j 



Ma si ha: 



{x — «;)'+ {y — 6,)'+ {z — c/= a;; + r,^ ; 



2 I (a; — a.) (a; — a^) + (y - 6^) (2/ — h^) + {z — c.) (^ — c^) | = a;,- + ar^t + Jj^^ , 



(oxe i^ j rappresenta l'invariante simultaneo delle sfere S^ , <§],.) ; onde 



dx 2x d y d y d z ìi z 



\ Of da df da ^ df da ■ df da ì 



I / dx,dXi ,-,* Oa;, 3a;^ i dxtdXi .^ aa:i3a;;t|' 



Ora dalle equazioni 



df da 



i dXi i dXi 



SI ricava 



e quindi 



- a;,- dXi i,k\ a;^ a:^ a;^. a;,-/ 



af Off , J^f ^9 3 /■ 39\ 



22rr;-^-^+2 a;, + :r, -^-^+-i--^ =0 



a;; a;, ,-, ^ \ 3 a;^ 3 a;^ a:^ 3 a;; 



Togliendo dall'equazione precedente il doppio, di questa si ottiene: 



^f^g.^f^g J^ .H^g^^-, iH ^g ^^f^g\\ 



dydy z V z li Xi d Xi ,-, i \3a;i3a;;(. d X/, d xj ^ 



3a; Oa; 



Ma l'annullarsi del primo membro di quest'equazione è la condizione d'ortogo- 

 nalità delle due superficie, dunque la condizione cercata affinchè le due superficie si 

 sechino ad angolo retto, è 



^ df da f ^f ^q 3/" dq\ 



(♦) Avvertiamo che nelle formole che precedono i fc è una disposizione binaria, nelle seguenti una 

 combinazione binaria di 1, 2, 3, 4, 5. 



(**) La condizione analoga nel caso in cui le cinque sfere fondamentali siano a due a due ortogo- 

 nali trovasi anche nAV Analytische Geometrie des Raumes, ài Salmon-Fiedler (II. Th. III. Aufl. 1880, 

 p. 445} riportata dall'opera di Darboux (p. 138). 



