DI GINO LORIA 223 



CAPITOLO SECONDO. 



Dei sistemi di sfere , in particolare dei sistemi lineari 



e quadratici. 



§ 1. Definizioni. 



17. Qualunque equazione onogenea fra le coordinate omogenee a;,- di una sfera 

 separa dallo spazio un numero triplicemente infinito di sfere le quali diremo costituire 

 un complesso di sfere. Se l'equazione è algebrica e di grado n il complesso si dirà di 

 ordine n; qualunque fascio ha in generale comuni con esso n sfere. 



Due equazioni qualunque fra le a;,- determinano un numero doppiamente infi- 

 nito di sfere le quali costituiscono una congruenza di sfere ; se le equazioni date 

 sono dei gradi m, n la congruenza si dirà d'ordine mn , ogni rete di sfere ha comuni 

 con essa in n sfere. 



Cosi tre equazioni fra le .r; determinano una serie (semplicemente infinita) di 

 sfere la quale si dirà d'ordine mnp se le equazioni date sono dei gradi m,n,p\ 

 ogni complesso lineare la seca in mnp sfere (*). 



Infine quattro equazioni di gradi ni,n,p,q nelle x^ determinano in generale 

 mnp q sfere. 



Una congruenza lineare di sfere non è che una rete, una serie lineare di sfere 

 è un fascio. 



§ 2. Sistemi lineari di sfere. 



18. Un complesso lineare di sfere è definito dall'equazione 



(1) • lx= ?ia;.4-|,a;, + c3a;3+£4a;^ + ?5^5 = • 



La prima questione che si presenta è la ricerca della condizione geometrica a cui 

 soddisfano tutte le sfere le cui coordinate verificano quest'equazione. Ora la risposta 

 è facile, ove si osservi che, siccome il determinante della forma fondamentale non è 

 nuUo, cosi è sempre possibile determinare cinque quantità Xj che soddisfino le equazioni 



(2) . 





• 



2 



^i, 



A; = £. 



(2=1.2. 



fatto 



ciò 



la 



[1] equivarrà 



aU 



equazione 



seguente 



cioè 











2 E, 





(') Volendo considerare anche le intersezioni parziali di complessi, si porranno le definizioni: Una 

 congruenza o una serie semplicemente infinita di sfere si dice d'ordine r se una rete o risp. un com- 

 plesso lineare di sfere ha comuni con essa r sfere. 



