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KICEKCHE INTORNO ALLA GEOMETRIA DELLA SFERA ECC. 



Le quantità Xj definite dalle [2] possono considerarsi come coordinate di una 

 sfera; l'ultima delle equazioni scritte ci dice allora che tutte le sfere x del com- 

 plesso |j,= sono ortogonali alla sfera X; dunque potremo concludere dicendo: 



Tutte le sfere x che comjoongono il complesso lineare [1] sono ortogonali alla 

 sfera X determina dalle [2]; quest'idtima dicesi sfera ortogonale del complesso. 



Un complesso lineare è determinato da quattro sfere ; esso contiene tutte le sfere 

 del fascio determinato da due sue sfere, della rete determinata da tre di esse ; donde 

 seguono le limitazioni a cui debbono soddisfare quattro sfere, affincbè esse possano 

 determinare un complesso lineare. 



Dal teorema dimostrato sulla generazione del complesso lineare, segue che la 

 sfera ortogonale può definirsi ancìie come luogo dei suoi punti-sfere ; considerandola 

 in questo modo è facile ottenerne l'equazione' in coordinate cartesiane. Perciò basterà 

 evidentemente sostituire nella [1] alle Xi le loro espressioni date dalle [13] del 

 n° 1 : si ottiene così la seguente equazione 



(3) 



1 



1 



1 



1 



1 



1 



a. 



3 



«3 



«4 



«5 



X 



P. 



^ 



Ps 



P. 



^5 



y 



7. 



7. 



73 



74 



75 



z 



JP.' 



P.' 



P, 



K 



Ps' 



X"- ■Art^-Z' 



1. 



L 



?3 



?4 



Is 







= 



L'inviluppo dei piani-sfere del complesso dato è rappresentato dalle equazioni 



i i 



eliminando fra queste una delle x^ avremo l'equazione in coordinate tetraedriche di 

 questo inviluppo , cioè V equazione del centro della sfera ortogonale del complesso. 



19. Fra i complessi lineari uno è notevolissimo, quello cioè composto dei piani- 

 sfere ; la sua equazione è (n. 6 ) 



1x^=0 . 



i 



Vediamo quale sia la sua sfera ortogonale : ponendo nella [3j tutte le | ,■ uguali 

 ad 1 ne avremo l'equazione. Ora, se dopo fatta questa sostituzione nel primo membro 

 sottragghiamo l'ultima orizzontale dalla prima, giungeremo a una relazione della forma 



cost. := , 



la quale ci dice, che la sfera ortogonale del complesso lineare costituito dai piani 

 dello spazio si riduce al piano all'infinito^ contato due volte. 



