226 KICERCHE INTORNO ALLA GEOMETRIA DELLA SFERA ECC. 



sono ortogonali alle tre sfere X^'\ X^'\ X'^' determinate dai tre sistemi 



H 



iB^x^^^r 





(3) (3) 



IR X — ? 



e a tutte quelle della rete da esse determinata. 



e) Infine, la sfera comune ai quattro complessi lineari 



.(3) 



lè-'\i=0 ; 2?/"a-,.= ; 



^,■ = 



^l/^.= 0, 



è ortogonale alle sfere definite dai quattro sistemi 



^B,xr=^r 



2 Mij Xj = (5; 



2 Eij Xj = §; 

 J 





e a tutte quelle del complesso lineare da esse determinato. 



Donde segue che per determinare la sfera x ortogonale alle sfere X^'', X^^y X^^\ X^*\ 

 si può procedere nel seguente modo: si sostituiscano nelle ultime equazioni scritte le 

 coordinate delle date sfere e si an'anno le venti quantità |/'', epperò le equazioni di 

 quattro complessi lineari 2 ^/'^ a;; = (/; = 1. 2. 3. 4): la sfera comune a questi è 



quella che si cercava. Se in particolare supponiamo che le sfere fondamentali siano 

 due a due ortogonali, la sfera x sarà determinata dalle equazioni 



Ri X: = 



X, 



X 



X 



X 



(^) 



(3) 



U) 



xr 



x'" 



x." 



x!" 





x.'-' 



x!" 



(3) 



-T."' 



x!" 



X "•' 



x.'" 



(ililmn perm. circolare di 12 345). 



d) Si abbiano cinque sfere due a due ortogonali che indicheremo coi numeri 

 1, 2, 3, 4, 5. Le sfere 2, 3, 4, 5 determinano il complesso lineare di cui 1 è sfera 

 ortogonale; così 1, 3, 4, 5 determinano il complesso lineare di cui 2 è sfera orto- 

 gonale. Per conseguenza tutte le sfere del fascio (I> determinato dalle sfere 1, 2 sono 

 ortogonali a quelle della congruenza lineare F determinata dalle 3, 4, 5. 



In particolare il piano-sfera n del fascio sarà ortogonale a tutte le sfere 

 della congruenza F, epperò coinciderà col piano dei centri delle sfere 3, 4, 5; ma 

 d'altronde esso è perpendicolare alla retta , luogo dei centri delle sfere del fascio # , 

 cioè alla congiungente dei centri delle sfere 1, 2 ; dunque possiamo concludere: 



Se cinque sfere sono a due a due ortogonali, la congiungente i centri di due 

 di esse è ^perpendicolare al piano determinato dai centri delle altre tre. 



Indicando con C^ C-, C^ C^ C^ i centri delle sfere considerate , e applicando 

 questo teorema avremo dunque che le rette C^ C^ , C.^C. , C^ (7. , C^ C^ sono ortogonali 

 rispettivamente ai piani Cg Cg C^ , C^ C^ C^ , G^ G^ G^ , G^ C, Cj ; epperò C- è il punto 

 d'incontro delle altezze del tetraedro G^C.^G^C^. In generale potremo dire: 



