DI GINO LOKIA 



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I centri di cinque sfere che a due ortogonali determinano cinque tetraedri; 

 ognuno di questi tetraedri ha per vertici i centri di quattro delle sfere e per 

 punto d'incontro delle aìtesse il centro della rimanente. 



II teorema ora dimostrato fu dato senza dimostrazione da Moutard (*). 

 Siccome (come si dimostrò teste) la congiungente r,^ dei centri delle sfere 1, 2 



è normale al piano dei centri delle sfere 3, 4, 5 ; e siccome, analogamente, la con- 

 giungente ^3^ dei centii delle sfere 3, 4 è normale al piano dei centri delle sfere 1, 2, 5, 

 così le due rette r,^, rj, sono fra loro ortogonali. Si ritrova in tal modo la nota 

 proprietà dei tetraedri , le cui altezze s' incontrano , cioè che i loro spigoli opposti 

 sono ortogonali. 



e) Quattro sfere 1, 2, 3, 4 determinano un complesso lineare costituito da tutte 

 le sfere ortogonali a una sfera determinata ; il raggio B di questa si può trovare 

 servendosi della relazione dimostrata al n. 8. Infatti facendo in essa 



(15) = (25) = (35) = (45) = 0,E^^B 



e, indicando con ik la distanza fra i centri dell'?""' e della Jc"" delle date sfere, 

 otterremo , dopo qualche facile riduzione, l'equazione 



donde poi si trae 



(5) . . . 2 i?'= 





 21 ' 



4l' 



b; 



1 





 1 

 1 



1 

 1 



12' 

 



z 



42 



b: 

 1 



1 





 2l' 



4l' 



b; 



1 



2 



12 

 



42' 



b: 



14 

 24' 







K 

 1 







1 



1 



2 



24 





 B/ 



1 

 1 



1 

 1 

 



1 



■2. 



b: 

 K 



-2B' 

 



a 



21 



41 

 1 



12 

 



42' 

 1 



1-4 



24' 





 1 



Si ricava da quest'equazione: 



1° La condizione necessaria e sufficiente affinchè le quattro date sfere deter- 

 minino un complesso lineare la cui sfera ortogonale sia un punto sfera , o , in altre 

 parole, la condizione necessaria e sufficiente affinchè le quattro sfere date passino per 

 lo stesso punto è 



(») Sur la iransformaiion par rayons vecteurs réciproques (Nouvelles Annales, t. V, serie li, 

 pag. 306). 



