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RICERCHE INTORNO ALLA GEOMETRIA DELLA SFERA ECC. 



(6) 







12 



14 



b: 



1 



21^ 







. 24' 



b: 



1 



il' 



42' 







K 



1 



i^; 



i?/ 



. . b: 







1 



1 



1 



1 



1 







. 



2° La condizione necessaria e sufficiente affinchè le quattro date sfere deter- 

 minino un complesso lineare la cui sfera ortogonale sia un piano è: 



(7) 







12 



14 



1 



21* 







. 24' 



1 



4l' 



42' 







1 



1 



1 



1 







cioè dev'esser nullo il volume del tetraedro determinato dai loro centri, in altre parole 

 qjiesti devono stare nello stesso piano. 



La prima delle due equazioni di condizione ora trovate, comprende la rela- 

 zione notissima esistente fra gli elementi che determinano un tetraedro e il raggio 

 della sfera ad esso ch'coscritta. Facendo infatti B^ :=^ B.^ = B^ ^= B^ = B avi'emo 

 un' equazione che determina il raggio comune di quattro sfere uguali passanti per 

 lo stesso punto e aventi i centri in 4 punti dati cioè il raggio della sfera passante 

 per questi ; tale equazione può scriversi 



li' 1 1 





 2l' 



2 



41 

 1 

 1 



12 

 



2 



42 

 1 

 1 



24 





 1 

 1 





= 



ossia , dopo qualche semplificazione , 



(8). 





 2l' 



2 



31 



2 



41 



12 







32' 

 Ì2' 



13 



23' 







is' 



14 

 2Ì' 



■ . 2, 



34 

 



+ 2B^ 







2 



21 



3l' 



il' 



1 



12 







32' 

 42' 



1 



13 



2 



23 







43' 

 1 



14 



2 



24 

 3i' 







1 



= 0, 



equazione ben conosciuta (*). 



(•) Cf. Salmon-Fiedler , Analytische Geometrie des Raumes , I Bd. III. Aufl. , 1879, p. 77. — 

 La stessa equazione può otteaersi più presto come caso particolare della (5), che dà il raggio della 

 sfera ortogonale a quattro date, supponendo che queste si riducano a punti-sfere. 



