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RICERCHE INTORNO ALLA GEOMETRIA DELLA SFERA ECC. 



Tale è la relazione cercata a cui soddisfano cinque sfere ortogonali a una me- 

 desima. Se in particolare tutti gli J?,- sono nulli, si ottiene semplicemente 





 21' 



12 







15 

 25' 



51 



52 







= 



come condizione, affincliè cinque punti-sfere siano ortogonali a una stessa sfera, cioè 

 come condizione affincliè cinque punti stiano sulla stessa sfera. 



21. I complessi lineari di sfere formano una varietà a quattro dimensioni ; le 

 coordinate di un elemento di tale varietà sono i coefficienti f, nell' equazione del 

 complesso lineare in coordinate di sfere. Se nell'equazione c^ := si ritengono le x 

 come date e le ^ come variabili avremo la rappresentazione analitica della sfera x 

 in coordinate di complessi lineari. 



Se si prende per assoluto l'insieme dei complessi speciali, la metrica dello spazio 

 dei complessi lineari coincide con quella dello spazio di sfere perchè in tal modo la 

 distanzci di due complessi lineari è uguale a quella delle loro sfere ortogonali. 



Dati due, tre, quattro cinque complessi lineari, tutti i complessi le cui coordinate 

 si ottengono combinando linearmente le coordinate dei dati si dicono costituire ordinata- 

 mente un gruppo hinomio, trinomio, tetranomio, pentanomio (*) aventi per sostegni i 

 sistemi di sfere comuni a tutte le sfere del gruppo. Per quanto concerne il modo di 

 assegnare le coordinate di questi gruppi, di determinare il numero delle coordinate 

 indipendenti e stabilire le relazioni fra quelle che non lo sono , rimandiamo ai lavori 

 di Clebscb (**) e D' Ovidio (**^'j ove queste questioni sono risolte per varietà co- 

 munque estese. 



Faremo invece notare quanto segue : Dalle [2] del n. 18 risulta chele coordinate 

 della sfera ortogonale di lin complesso lineare sono funzioni lineari delle sue coordinate, 

 da ciò che ora dicemmo risulta poi che le coordinate di un complesso d'un gruppo /.■ 

 nomio di complessi sono funzioni lineari omogenee di h complessi del gruppo ; dunque , 



a) Le sfere ortogonali dei complessi d'un gruppo binomio formano un fascio. 



h) Le sfere ortogonali dei complessi d'un gruppo trinomio formano una rete. 



e) Le sfere ortogonali dei complessi d'un gruppo tetranomio foi'mano un com- 

 plesso lineare. 



ci) Infine , tutti i complessi lineaiù hanno per sfere ortogonali tutte le sfere 

 dello spazio. 



(*) Il gruppo pentanomio comprende tutti i complessi lineari dello spazio. 



(♦*) Ueber cine Fimdamentalaufgabe der Tnvariantimthaorie (Abhandlungen d. K. Ges, d. Wiss. 

 zu Gottingen, Bd. XVII). 



(***) Ricerche sui sislemi indeterminali di equasivni lineari (Atti della R. Accademia di Torino, 

 voi. XII, 1877). 



Le ftimioni metriche fondamentali negli spasi di quante si ■cagliano dimensioni (Memorie della 

 R. Accademia dei Lincei, 1876-77). 



