HI GINO LOKIA 



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Di più i gruppi di complessi e i sistemi di sfere che stanno nella relazione ora 

 esposta sono legati da una relazione proiettiva ; il numero delle condizioni determi- 

 natrici di un gruppo di complessi coincide con quelle delle coudizioni che determinano 

 il corrispondente sistema di sfere: di qui in particolare segue che un gruppo hinomio 

 di complessi (e la congruenza che ne è sostegno) è determinato (come un cerchio 

 nello spazio) da sei coudizioni: un gi-uppo trinomio di complessi (e il fascio che ne 

 è sostegno) è determinato (come una coppia di punti) da sei condizioni ; un gruppo 

 tetranomio è infine determinato (come una sfera) da quattro condizioni. 



22. Come applicazione di quanto si espose riguardo ai sistemi lineari di sfere, di- 

 mostreremo tre teoremi a cui Frohenius (1. e, p. 229-230) pervenne con metodi 

 divei^si da quelli che ci servono. 



a) Tutte le sfere (x) che secano quattro sfere date (x^'^) sotto angoli i cui 

 coseni sono le medesime funzioni lineari omogeìiee dei coseni degli angoli sotto 

 cui le sfere (x^'') sono secate da tre' sfere date (a'*^) formano un sistema tale die 

 tre qualunque di esse hanno per centro radicale un punto che è tale per ciascuno 

 dei sistemi determinati da due di queste e dalla sfera (X) ortogonale alle quattro 

 sfere (s:«). 



Infatti si ha per ipotesi 



cos {x , x^->} = X, cos («(■', a.''"') + )., cos («'=' , a;^'') + 1, cos («'=> , x^''^) , 



per i=: 1,2, 3,4; onde eliminando le /^ si avrà la seguente equazione verificata 

 dalle coordinate d'una sfera variahile {x) : 



= . 



cos (a; , a;^'') cos (a'' \ a;*'') . cos (a*^', a.'"') 



cos (x , x^''^) cos (a^"' , a;'^') . cos (a'^' , a;'*') 



Donde segue che le sfere {x) costituiscono un complesso lineare ; ma per la 

 sfera (X) si ha cos (X, x^'^) = onde quest'equazione è soddisfatta , epperò (X) ap- 

 partiene al complesso lineare predetto : da ciò segue tosto il teorema enunciato. 



h) Tutte le sfere (x) che secano quattro sfere date (x^'') sotto angoli i cui 

 coseni sono le stesse funzioni lineari omogenee dei coseni degli angoli sotto cui 

 le sfeì-e (x^) 'sono secate da dtie sfere date (a''' , a^^^) passano per due punti fissi 

 della sfera ortogonale (X) delle quattro sfere (x^''). 



Eliminando /.j , /.., dalle equazioni di condizioni del problema, cioè dalle 



cos {x , a;») = \ cos (a'"' , x'-'^) + \ cos {a^'1 , a;«) («=1.2.3.4), 



si ottengono le equazioni rappresentate compendiosamente dalla scrittura : 



cos {x , a;''') cos (a''* , x'-''>) cos(a''' , x'-'>) 



cos (x , a;^"*') cos {a'-'K a;^>') cos{a^^\ a;^*') 



= 



