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EICEECHE INTORNO ALLA GEOMETRIA DELLA SFERA ECC. 



Siccome queste rappresentano una congruenza lineare così tutte le sfere (x) pas- 

 sano per due punti fissi ; siccome esse sono soddisfatte dalle coordinate delle sfere (X), 

 così quei due punti stanno su questa e. d. d. 



e) Tutte le sfere (x) che secano quattro date sfere (x''') sotto angoli i cui 

 coseni sono proporzionali , passano per tm cerchio fisso appartenente alla sfera 

 ortogonale (X) delle quattro sfere date. 

 Dalle equazioni 



cos (a;a;W) = >. e,- , («=1,2,3,4), 



che si hanno per ipotesi, seguono le equazioni 



cos (.^• , a:*'') e, 



= 



.cos(a;, x^'^) c^ 



Queste sono soddisfatte dalle coordinate della sfera (X) onde rappresentano un 

 fascio a cui appartiene la sfera (X), cioè il sistema semplicemente infinito di sfere 

 passanti per un cerchio fisso di (X) e. d. d. 



23. Il teorema fondamentale dimostrato al principio di questo § dà il modo di 



farsi un'idea della distribuzione nello spazio delle sfere di un sistema di ordine e specie 

 qualunque. 



Infatti, se è dato il complesso di sfere d'ordine ni rappresentato dall'equazione 



- ^.. = 0,. 



cerchiamo quale sia il luogo dei centri delle sfere che appartengono ad esso e sono 

 ortogonali ad una sfera S. Perciò, se indichiamo con 



lx'f^—0 



l'equazione del complesso lineare costituito dalle sfere ortogonali ad S, e rammen- 

 tiamo che le coordinate x, y, z del centro della sfera di coordinate Xi sono date dalle 

 equazioni (num. 10) 



2 (a, - X) X, = , 1 (,3, - y) y, = , 1 (7, - z) z, = , 



i i i 



potremo ricaA'are x^ proporzionale a una funzione lineare di x, y, z, ^i opperò lineare 

 di X, y, z e delle coordinate della sfera data. Se quindi sostituiamo questi valori 

 nell'equazione F,,^ = otterremo l'equazione cercata del luogo dei centri delle sfere 

 di F^ = ortogonali a /S'. E siccome tale equazione è di grado m sia nelle coor- 

 dinate X, y, z sia in quelle della sfera S, così potremo concludere : 



Vn complesso di sfere d'ordine m determina un sistema di quarta specie di 

 superficie S„ d'ordine m ; ad ogni sfera S dello spazio corrisponde S,„ , per 



