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modo che appartengono al dato complesso titffe sfere ortogonali ad S e aventi i 

 centri in S„ : l'equazione di S„, eontiene al grado m le coordinate di S. 



A conclusioni analoghe guida la considerazione delle congruenze e delle serie di 

 sfere ; l'unica diversità consiste in ciò che si ottengono, invece di sistemi di superficie, 

 sistemi di cui-ve nel caso di congiuienze, sistemi di gruppi di punti nel caso di serie; 

 l'ordine delle curve è uguale a quello delle congruenze, il numero dei punti di ogni 

 gruppo è uguale all'ordine della serie; le curve sono intersezioni complete di super- 

 ficie se le congruenze sono intersezioni complete di complessi, i gruppi di punti sono 

 intersezioni complete di superficie se le serie sono intersezioni complete di complessi. 



§ 3. Sistemi quachatici di sfere; 

 invarianti dei sistemi lineari e quadratici (*). 



24. Un complesso quadratico di sfere è definito dall'equazione 

 (10) a„ = 2a,ja-;a;*==0 . 



i, * 



Siccome la sua equazione contiene quindici coefficienti, riducibili a quattordici 

 indipendenti , così esso è definito da quattordici sue sfere ; date le sfere che lo 

 determinano si può subito scriverne l'equazione sotto forma di determinante. 



Xoi abbiamo già avuto occasione di considerare un complesso quadratico, quello 

 cioè formato dai punti-sfere dello spazio ; un complesso quadratico è pure formato da 

 tutte le sfere di dato raggio (n. 4) ; un terzo esempio di complessi quadratici è of- 

 ferto dall'insieme di tutte le sfere che secano sotto un angolo dato 1 diverso da j 



una sfera fissa (n. 13) ; un quarto dalle sfere che hanno i centri su una quadrica 

 e sono ortogonali a una sfera fissa, ecc. 



L'equazione di un complesso quadratico di sfere può ridursi in generale in in- 

 finiti modi alla fonna (canonica) 



2 «i x^ = ; 



in virtù della legge d'inerzia delle forme quadratiche, se la trasformazione lineare 

 è reale, comunque si operi, la differenza fra il numero dei coefficienti a,- positivi 

 e quello dei negativi è sempre la stessa; questa differenza può essere uguale a 5, a 4, 

 a 3 , corrispondentemente si hanno tre specie di complessi quadi'atici : il primo è 

 imaginario , gli altri due si dicono rispettivamente ellittico e ijjerbolico (**) e sono 

 sempre reali . 



(') Intorno a quanto è esposto in questo paragrafo, vedi le citate Memorie del Prof. D'Ovidio. 

 ("j V. Rete, Synthetische Geometrie der Kugeln, etc, n. 196. 



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