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EICERCHE INTORNO ALLA GEOMETRIA DELLA SFERA ECC. 



25. Consideriamo due spazii di sfere: chiamiamo x gli elementi del primo e X 

 quelli del secondo e consideriamo in essi due complessi quadratici 



2 a,- x^ = 



2A.x;=o . 



Fra gli elementi di questi due spazii stabiliamo una corrispondenza proiettiva 

 tale che alla sfera di coordinate x^ corrisponda la sfera determinata da 



P 



x, = |/2. 



(i=l, 2, 3, 4, 5) . 



Se la sfera x appartiene al primo dei complessi dati, la sfera X apparterrà al 

 secondo e viceversa, onde le formole ora scritte stabiliscono una corrispondenza pro- 

 iettiva (non sempre reale) fra gli elementi dei due complessi dati. Ora, avendo sup- 

 posti distinti i due spazii di sfere, è sempre possibile ridurre le equazioni di entrambi 

 i complessi (i cui primi membri non abbiano discriminante nullo) a forma canonica, 

 epperò è sempre possibile stabilire fra gli elementi di due complessi quadratici una 

 corrispondenza proiettiva. Per conseguenza : un complesso quadratico di sfere non 

 ha invarianti assoluti. 



In particolare, si può rappresentare un complesso quadratico di sfere elemento 

 per elemento sullo spazio punteggiato (*) ; se quindi , nello spazio di sfere in cui è 

 contenuta la quadrica de' punti, troviamo un fascio di sfere composto di punti- sfere, 

 ad esso corrisponderà nell'altro spazio un fascio di sfere posto tutto sul corrispon- 

 dente complesso : epperò la corrispondenza stabilita può servire a trovare i sistemi 

 lineari di sfere contenuti in un complesso quadratico. Ed infatti, notando che, affinchè 

 il fascio di sfere determinato da due punti sia composto tutto di punti-sfere è ne- 

 cessario e sufficiente che quei due punti stiano su una secante dell'assoluto (**) , e 

 e che vi sono oo^ tali secanti, potremo concludere subito : 



(*) Ciò è lecito, perchè il discriminante della forma fondamentale R^^ non è uguale a zero. 

 Infatti esso è proporzionale alla quantità 







i^' . 



. . là' 



Ti» 







. . 23' 



6l- 



52-^ . 



. . 



i?/ 



B,\ . 



. . B- 



1 



1 



. . 1 



i?,^ 



1 



R.' 



1 



K- 



1 



u 



1 



1 







la quale non è nulla, perchè le sfere fondamentali non appartengono allo stesso complesso lineare 

 (n. 20, /■). 



(**) Per dimostrare quest'asserzione basta tener presente, che i punti-sfere del fascio 



corrispondono ai valori di /, che sono radici dell'equazione 



infatti da questa segue che il fascio sarà composto tutto di punti-sfere, se i coefBcienti di quest'equa- 

 zione saranno separatamente nulli, se, cioè, si avrà 



i?,:=0, i?.= U, («,_«J»+(j3,-^,)'+(v,-V2)'=0 , 



se, cioè (n. 5, nota) il fascio sarà determinato da due punti-sfere posti su una secante dell'assoluto. 



