DI GIKO LORIA 235 



Ili qualunque complesso quadratico eli sfere so)ìo contenuti oo^ fasci di sfere, 

 per ogni sua sfera ne passa una semplice infinità. 



Per determinare i fasci di un complesso quadratico a^.^ = passanti per una 

 sua sfera arbitraria y basta scrivere che, chiamando s una sfera qualunque d'un tale 

 fascio, l'equazione 



è verificata qualunque sia ). :,a. Oltre all'equazione a^j=:0, soddisfatta per ipotesi,, 

 si hanno le due equazioni 



Oy^^ , a...=:0 , 



le quali sono soddisfatte dalle oo- sfere degli co' fasci passanti per la sfera y . 



26. Kispetto a un complesso quadi-atico di sfere si può stabilire una polarità,. 

 analoga a quella che si considera nella teoria delle curve e delle superficie di 2° 

 grado. 



Due sfere y,~ si diranno coniugate rispetto al complesso a^^=0, quando le due 

 sfere di questo che appartengono al fascio formano un gruppo armonico colle due 

 sfere date; ora quelle due sfere hanno coordinate della forma ly^ + p-Zi, purché X:/J. 

 sia una radice dell'equazione 



quindi affinchè il rapporto anarmonico da esse fatto colle date sfere, cioè la condizione 

 affinchè queste siano coniugate è 



(11) ay, = . 



Se in quest'equazione si tiene fisso, si avrà l'equazione dell'insieme delle sfere s 

 coniugate ad y; quest'insieme è un complesso lineare che si dirà polare della sfera y 

 rispetto ad «^.,. = . 



Ticeversa, dato un complesso lineare qualunque S^^=(> e uno quadratico a^j. = 

 (tale che il determinante della forma quadratica a^^ non sia nullo) ripetendo un ra- 

 gionamento fatto in altra occasione (n. 18), si può dimostrare che: 



Tutte le sfere di un complesso lineare |^=0 sono coniugate rispetto a un 

 complesso quadratico arbitrario a^.^^ di una sfera X determinata dalle equazioni 



2ayX,=.l; 



i 



questo teorema è una generalizzazione di quello dimostrato al n. 18. 

 Siccome la [11] è simmetrica in y,2 cos'i si ha: 



Due sfere coniugate rispetto a un complesso quadratico stanno ciascuna nel 

 complesso polare dell'altra rispetto a questo. 



