236 RICEKCHE INTOEKO ALLA GEOMETRIA DELLA SFERA ECC. 



Così, notando die nella [11] y e z entrano linearmente, si conclude: 



Se una sfera è coningata a due, tre o quattro date sfere, lo sarà rispetto a tutte 

 le sfere del fascio, della rete, del complesso lineare, determinati ordinatamente dalle 

 date sfere, epperò si dirà coniugata a questi sistemi lineari. 



Prendiamo ad arbitrio una sfera S^ e troviamone il complesso polare Cj rispetto 

 ad a^.^ = ; in C^ scegliamo una sfera S,-, e troviamone il complesso polare C^ ri- 

 spetto ad «^.^ = 0,11 quale passerà per Sy Nella congruenza lineare (7^(7, prendiamo 

 una terza sfera S^ e troviamone il complesso polare Cj il quale passerà per S^ e S.,; 

 nel fascio C^ (7, C.^ prendiamo ad arbitrio una sfera S^ e cercbiamone il com- 

 plesso polare C^. I quattro complessi lineari C^ C, Cg C^ si secano in una sfera S. 

 (n. 17) il cui complesso polare C. passa per S^S^S^S^. Il sistema di cinque sfere 

 e cinque complessi lineari che abbiamo così costruito è tale che ognuno di questi è 

 determinato da quattro di quelle e polare della quinta rispetto al dato complesso 

 quadratico ; un sistema di tal natura diremo autoconitigato rispetto al dato com- 

 plesso; i sistemi autoconiugati rispetto a un complesso di 2" grado formano una 

 varietà a 



4 + 3 + 2 + 1=^10 

 dimensioni. 



Dal confronto delle [11] con un teorema precedentemente dimostrato (n. 15, a) 

 deduciamo: Bue sfere ortogonali sono coniugate rispetto al complesso dei punti-sfere. 

 Così supponendo che il complesso a^^ = coincida con quello dei punti-sfere si potrà 

 cambiare in tutti i teoremi ora dimostrati la parola coniugato in ortogonale. Un si- 

 stema autoconiugato rispetto al complesso dei punti-sfere è composto di cinque sfere 

 due a due ortogonali. 



Per rendere manifesta la connessione delle equazioni [10], [11], con altre che in- 

 contreremo più innanzi (chiamando a,/, il complemento algebrico di a,^ nel determi- 

 nante a di (Zj,^, e a il determinante delle c/.^) le vogliamo scrivere cosi 



(10') 



«5 



^55 ^5 



X, 



:0 , 



•^55 



^, 



y. 



Vi 

 



= (11' 



ossia piii brevemente, adottando una scrittura già in uso, 

 (10") (%) = ^ ' 



.n=o 



(11"). 



27. Esaminando la [11] del n" prec. , vedremo ancora che affinchè una sfera 

 stia nel proprio complesso polare rispetto a un complesso quadratico, essa deve far 

 parte di questo ; supponendo che ciò si verifichi, congiungiamo quella sfera con una 

 sfera qualunque del suo complesso polare e cerchiamo le sfere del fascio cosi deter- 

 minato che stanno nel complesso quadi'atico: otterremo cosi due sfere coincidenti con 



