DI GINO LORIA 237 



quelle da cui partimmo. Il fascio iu tal modo ottenuto gode dunque della proprietà 

 di aver comuni col dato complesso eli 2° grado due sfere coincidenti, onde a ragione 

 può dii-si a quello tangeììte ; ma un tal fascio si ottiene congiungendo la sfera pri- 

 mitiva con una sfera qualunque del suo complesso polare e un complesso lineare 

 contiene tutto il fascio determinato da due sue sfere , dunque potremo concludere : 



Il complesso polare rispetto a un complesso quadratico eli unei sua sfera è l'in- 

 sieme degli OC' fasci di sfere tangenti in questa sfera al complesso dato, epperò si 

 dii'à conqjlesso tangente in questa sfera al complesso di 2° grado. 



Ogni complesso tangente è secato da un complesso lineare qualunque conte- 

 nente la sfera di contatto in una congruenza lineare contenente oo fasci tangenti 

 al complesso di 2° grado e che per conseguenza si dirà tangente a questo in 

 quella sfera. 



In ognuna delle oo* sfere comuni a due qualunque complessi di 2° grado, essi 

 lianno comune una congruenza tangente; ma se in una di tali sfere essi hanno co- 

 mune il complesso tangente, si diranno fra loro tangenti. 



23. Consideriamo una sfera y non appartenente al complesso a^j.= 0; se la 

 congiungiamo mediante un fascio a una delle sfere x comuni al complesso a^,. = e 

 al complesso lineare ofj.j.= polare di g rispetto ad a^-^ = 0, otterremo evidentemente 

 un fascio di sfere tangente in x al dato complesso di 2° grado. Gli oo^ fasci così 

 ottenuti generano un complesso quadratico {speciale nel senso che gli attribukemo 

 al n. 36), che tocca &^^:=0 nella sua congruenza cV intersezione con a^y=:0; l'e- 

 quazione di questo complesso è 



«XX "yy — a.ry^ (*) . 



Ricordando che se una sfera sta nel complesso polare di un'altra questa a sua 

 volta sta nel complesso polare della prima (n. 26), si vedrà che i complessi tangenti ad 

 a„^0 nelle sfere che esso ha comuni con «^^,^0 passano per la sfera y; dunque 

 la sfera polare di un complesso lineare rispetto a un complesso quadratico è co- 

 mune agli oo- complessi tangenti al complesso di 2" grado nelle sfere della sua 

 intersezione col complesso lineare. 



Se ora consideriamo tutte le sfere di un fascio determinato dalle sfere y,s e 

 ne cerchiamo i complessi polari otterremo un gruppo binomio di complessi lineari il 

 cui sostegno seca a^^^O in una serie quadratica di sfere. 



(*) Più, in generale, si può dimostrare che: 



Gli »• fasci di sfere che si ottengono congiungendo una sfera qualunque j alle co- sfere della 

 congruenza d'intersezione dei due complessi a^^=zO , 5^=0 formano un complesso di secondo grado 

 (pure speciale) la cui equazione è : 



