238 KICEKCHE INTORNO ALLA GEOMETRIA DELLA SFERA ECC. 



Le oo" reti die con giungono una sfera di questa serie al fascio dato generano 

 un com;plesso quadratico (doppiamente speciale nel senso che gli attribuiremo al n. 37); 

 l'equazione di questo complesso è 



a„ {ayy a,^— «j / ) — a.r/" .= — «.r/«yj- + 2 a^y a^. a^., = (^) ; 



esso tocca a«=*^ i" tutte le oo sfere della serie quadratica 



a^^=0 , a.,_y = , a^,= . 



Infine, se consideriamo le oo^ sfere d'una congruenza lineare e ne cercliiamo i com- 

 plessi polari, otterremo un gruppo trinomio di complessi lineari, il cui sostegno seca 

 axx=0 in due sfere che congiunte colla data congruenza danno due complessi lineari 

 tangenti ad «^.^ = e passanti per questa. In ogni gruppo binomio di complessi lineari 

 tì son dunque due complessi tangenti a un complesso quadratico qualsivoglia ; questa 

 proprietà può enunciarsi brevemente così: 



I complessi di sfere di secondo ordine sono eziandio di seconda classe. 



29. Dati due complessi lineari 



a„:=0 



e un complesso quadratico 



si determinino le sfere S^^ , S^ di cui c^.= e '''i^^^^ sono i complessi polari ri- 

 spetto ad a^^=:0 . 



Se 5j appartiene al complesso v;.r^O , S^ apparterrà al complesso .^^ = ; «Jj , 5!, 

 saranno coniugate rispetto ad a_^^r=0 (n. 24) e i complessi (|_^ = , vi^^ si di- 

 ranno coniugati rispetto ad a^^^= 0. Non è difficile stabilire la condizione analitica 

 affinchè ciò accada: le coordinate X della sfera S.^ sono determinate dalle equazioni 

 (n. 26). 



«, , X, -H « ,. , X, + « , 3 X3 + a, „ X„ + fl,. 5 Xs = ? ,. ( ?■ = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 ) , 

 e affinchè Sz stia in r,^=:0 si deve avere 



V5, X,-t- Vy.X,-!- 7:3X3-+- v;,^X^-f- v^jXj = ; 



(*) Anche questo teorema può generalizzarsi, perchè si può dimostrare che : 



Le 05' reti di sfere che si ottengono congiungendo due sfere qualunque j, z alle «> ' sfere della 

 serie quadratica d'intersezione dei tre complessi "^^^=0, ?^ = U , ■n^ = formano un complesso 

 quadratico (pure doppiamente speciale) la cui equa:;ione è: 



= 



°xx 



"xy 



"xz 



5x 



■n 



V 



"yy 



°7= 



^> 



v; 



"zx 



"xy 



a.. 



i. 



>J 



ir 



h 



?. 











"l 



"y 



"= 







IJ 



