240 EICEKCHE INTORNO ALLA GEOMETRIA DELLA SFERA ECC. 



è la condizione affincliè la congruenza sostegno del gruppo binomio 1^,- = , r,^ = 

 tocchi il complesso «^,.^0 ; STiluppata convenientemente essa rappresenta il complesso 

 «.,^=:0 in coordinate (cfr. n. 21) di gruppi binomii tangenti. 



Analogamente si può stabilire la nozione di grwppi trinomU e tetranomii con- 

 iugati e dimostrare che le condizioni per ciò necessarie e sufficienti sono rispetti- 

 Tamente 



(16) («J,!,5,)=«^ («t!.t!0=« (!') 



«'?'/ \ I' »'?'»' 



in particolare le condizioni di contatto d'un gruppo trinomio o tetranomio sono ri- 

 spettivamente 



(18) ("VW": («!'";")=« d"). 



'i r, 'C ì \ ^ r, 'C, a 



31. Nello spazio di sfere sono figure in un certo senso correlative la sfera e 

 il complesso lineare, onde dai risultati ottenuti nei due numeri precedenti ne potremo 

 dedurre altri scambiando le sfere coi complessi lineari e considerando il complesso 

 quadratico come generato dai complessi lineari che lo toccano ; cosi dalle formole a 

 cui ora siamo pervenuti se ne potranno dedurre altrettante mutando le a nelle a e 

 le coordinate di un complesso lineare in quelle di una sfera: le corrispondenti delle 

 [12'] [13] nel n. 29 sono le [10"] [11"] nel n. 26, le altre si otterranno nel 

 modo indicato. 



32. Un caso merita speciale menzione: è quello in cui il dato complesso qua- 

 dratico è formato dai punti-sfere. Allora la [13] si muta in 



(20) r?)"^' 



questa è la condizione necessaria e sufficiente affinchè il complesso lineare 5^. = Q 

 abbia per sfera ortogonale un punto-sfera cioè sia formato dalle 00^ sfere che passano 

 per un punto fisso. Se si ritiene che nella [20] le ^,- siano variabili, essa può ri- 

 guardarsi come l'equazione dello spazio punteggiato in coordinate di complessi lineari 

 tangenti. Quando invece le ^ si suppongono date, l'annullarsi della funzione (.R") 

 è la condizione necessaria e sufficiente affinchè il complesso §j= sia specializzato 

 nel modo detto; siccome poi se un complesso lineare è speciale esso si conserva tale 

 anche se assoggettato alle trasformazioni di cui si tenne parola al n. 6, così sembra 

 ragionevole il dare alla funzione ( i? ; ) il nome di invariante del complesso li- 

 neare |.r = (*). Un complesso lineare di sfere è pienamente determinato dalla sua 

 sfera ortogonale, onde tutte le specializzazioni di quello devono corrispondere a spe- 

 cializzazioni di questa; in particolare quelle sfere che hanno una specialità di carattere 



5i' 

 (') Riferendosi a cinque sfere due a due ortogonali, l'invariante di 5* = e S p-5 . 



i -"' 



