DI GINO LORIA 241 



invariantivo rispetto a tutte le ti'asformazioni del n. 6 , determineranno dei complessi 

 aventi una specialità godente di pi'oprietà analoghe. Ora l'unica sfera speciale rispetto 

 a quelle trasformazioni è il punto sfera, quindi l'unico complesso lineare speciale è 

 quello che ha per sostegno un punto-sfera, epperò la funzione ( B^) è l'unica che 

 meriti il nome di invariante del complesso lineare. 



Il complesso (lineare) dei piani-sfera è speciale; infatti siccome tutte le sue 

 coordinate sono uguali ad 1 (n. 6) , il suo invariante è espresso da 



E 



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e questo è nullo in causa dell' equazione [11] del n. 8. Dunque il complesso dei 

 piani-sfere tocca il complesso quadratico dei punti-sfera: l'elemento di contatto è il 

 piano all'infinito. 



33. Nel numero precedente fummo natm-almente condotti all'invariante di un 

 complesso lineare espresso dal terminante della forma fondamentale orlato coi coeffi- 

 cienti del complesso dato; analogamente applicando le equazioni [15], [18], [19] si 

 otterrebbero funzioni a cui si vedi-ebbe convenire i nomi di invarianti dei corri- 

 spondenti gruppi e dei loro sostegni. Ma a questi si giunge anche colle seguenti con- 

 siderazioni più dii'ette (*). 



Siano Cj=0 , v^x^O ^^^ complessi lineari qualunque. Nel gruppo binomio da 

 essi determinato vi sono in generale due complessi speciali le cui sfere ortogonali sono 

 degenerate nei punti-sfere del fascio costituito dalle sfere ortogonali dei complessi del 

 gruppo (n. 21, a) ; essi corrispondono ai valori di X : p, che soddisfano l'equazione : 



Se quest'equazione ha radici uguali, i due complessi speciali del gruppo coin- 

 cidono ; epperò coincidono i due punti-sfere del fascio di sfere ortogonali, cioè questo 

 è formato da sfere fra di loro tangenti. Dunque la funzione 



(21) 





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col suo annullarsi esprime che la congi'uenza ^^1=0 , v;^=:0 è comune a tutti i com- 

 plessi le cui sfere ortogonali sono fra loro tangenti ; siccome tale proprietà resta se 

 si assoggetta il sistema alle trasformazioni considerate nel n. &, così l'espressione [21] 



(*) Le due vie indicate conducono a risultati identici par la sostanza, ma di forme differenti ; si 

 può dimostrare facilmente la loro identità. 



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