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RICERCHE INTORNO ALLA GEOMETRIA DELLA SFERA ECC. 



si dirà invariante della congruenza lineare S^. ^ , v^^^ (*). In modo analogo 

 a quello tenuto dianzi si prova ch'essa è l'unica a cui spetti questo nome. 

 L'invariante della congraenza s'annulla quando si ha separatamente 



(-1)^ 



:0 , 





R 1 = 



i due complessi dati sono in questo caso speciali e determinano un fascio di com- 

 plessi lineari speciali ; il fascio di sfere ortogonali è tutto costituito di punti-sfere , 

 posti su una secante dell' assoluto. È questa la massima specializzazione che possa 

 presentare una congruenza lineare di sfere e il gruppo binomio che essa sostiene. 



34. Siano |_j.= ,-/;,. = , Ì'j=:0 tre complessi lineari qualunque; nel gruppo 

 trinomio da essi determinato vi sono oc" complessi lineari speciali corrispondenti ai 

 Talori dei rapporti X : jj. : v che soddisfano l'equazione 



^;:;.:::D-^■(^l)-^■(<)-'■(^^)--(^^) 



2v). LR 



2 l a R 



ed essi possano rappresentarsi univocamente sui punti della conica di cui questa è 

 l'equazione in coordinate X ., ij. , v ; se questa conica si scinde il gruppo trinomio sarà 

 specializzato, quindi il determinante (discriminante di quella conica) 



(22) 



R 



R 



R 



R 



'lì 



ì) «) e?) 



gode di proprietà invariantive (per le trasformazioni lineari del n. 6) rispetto al 

 gruppo (ed è l'unica che ne goda) ; l'annullarsi del determinante (22) è la condizione 

 necessaria e sufficiente affinchè nel gruppo trinomio vi sia un complesso la cui sfera 

 ortogonale si riduce a uno dei punti-sfere del fascio di sfere che è sostegno del gruppo 

 trinomio , cioè affinchè tutte le sfere ortogonali dei complessi del gruppo trinomio 

 abbiano comune un punto e la tangente in esso. Il gruppo si particolarizza maggior- 

 mente se s'annullano tutti i determinanti di 2° ordine del determinante (22) ; allora 

 tutte le dette sfere ortogonali hanno una generatrice comune, e si ha così la mas- 

 sima specializzazione che può presentare un gruppo trinomio. 



(*) Se le cinque sfere fondamentali sono due a due ortogonali, l'invariante di 5x=0, »?x = è 

 2 (g. i/- - Ik ■my _ 



