244 KICEECHE INTORNO ALLA GEOMETRIA DELLA SFERA ECC. 



36. Il complesso quadratico di sfere possiede una funzione avente proprietà 

 invariantive per qualunque trasformazione lineare dello spazio di sfere; esso è il deter- 

 minante della forma quadratica «_,,,. che ne forma il primo membro. 



Quando esso s'annulla , il complesso diviene speciale ; in questo caso è possibile 

 determinare una sfera X tale cbe siano verificate le cinque equazioni: 



a, 



,X,+ «,,X,-^a,3X3-t-a,,X^-t-a,5X5=0 (^• = 1 . 2. 3. 4. 5) 



La sfera X è coniugata rispetto al complesso di qualunque sfera y: infatti 

 moltiplicando Vi"'" di queste equazioni per y^ e addizionando le cinque equazioni ana- 

 loghe, si trova: 



e questa dimostra la propi'ietà enunciata (n. 26); segue poi: 



n complesso polare di una sfera qtialuìiqiie rispetto ad a^^ = passa per X; 

 tutte le sfere poste in uno stesso fascio contenente X hanno lo stesso complesso 

 polare. 



Sia X una sfera del complesso speciale : sarà 



a^.^= ; 

 inoltre si ha: 



a^x — «Ax = ^ ; 

 quindi, qualunque sia ), : A , 



X'a^^-l- 2lA.a^x^A^ajix~a-,x + !.x=^ , 



e questa ci j^rova che il complesso speciale contiene tutti i fasci di sfere che una 

 sua sfera arbitraria determina colla sfera X. Quindi il complesso speciale può ge- 

 nerarsi mediante oo^ fasci aventi una sfera comune, in modo analogo a quello in cui 

 un cono vien generato da una retta passante per un punto fisso. 



Se y, è una sfera qualunque dello spazio per determinare le sfere del fascio 

 AX + u.y, che fanno parte del complesso serve l'equazione 



la quale, in virtù di ciò che precede ha per radice doppia f;.= 0. Dunque tutti i 

 fasci che congiungono X alle sfere dello spazio hanno comune la sfera X contata 

 due volte; perciò diremo che X è la sfera doppia del complesso speciale. 



invai'iautivo solo rispetto alle trasformazioni lineari dello spazio di sfere che mutano i piani in piani. 

 P. e.: in un tale studio si darebbe il nome di invariante dal complesso lineare alla funzione 



Rii ■ R„ ?, 



1 1 



che col suo annullarsi dice che la sfera ortogonale del complesso ?jr = è un piano-sfera. 



